Convergenza puntuale e uniforme della successione d funzioni

[myrym]

Salve! Avrei bisogno di un aiutino...a dire il vero un aiutino un pò grande... Nel mio programma di Analisi II ci sono le successioni di funzioni ma purtroppo con il nuovo ordinamento il programma è stato ridotto, anche se a me tocca portare questo argomento all'esame.
Ho provato a capirci qualcosa da sola dal libro e con alcuni esercizi ce l'ho fatta.
Con questo però non so proprio come procedere perchè è molto diverso dagli altri.

Studiare la convergenza semplice ed uniforme della seguente successione di funzione:

$f_n(x)= \{ ( 0 , ", se " x=n) :} $

non riesco a scriverlo meglio di così... -_-''

cmq spero ci sia qualcuno disposto a spiegarmi come procedere.

Dovrei calcolare inizialmente il limite puntuale , ma se faccio:

$ lim_(n -> oo ) f_n(x)= lim_(n -> oo ) sqrt(x-n) = +oo$ giusto?

e allora come si fa... questa diverge non converge proprio...

[gugo82]

Attenta... Come fai a calcolare [tex]$\lim_{n\to +\infty} \sqrt{x-n}$[/tex] se la funzione radice è definita solo per argomenti positivi?

Comunque, per risolvere il calcolo del limite puntuale, guarda cosa succede ai grafici delle [tex]$f_n$[/tex] quando $n$ cresce: praticamente l'intervallo in cui [tex]$f_n(x)=0$[/tex] diventa sempre più grande ed "al limite" invade tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex]... Cosa puoi dedurre da questa osservazione?

Poi ovviamente devi mettere a posto la tua deduzione. A tal uopo, io userei il fatto che per ogni reale [tex]$x$[/tex] si può trovare sempre un'infinità di numeri naturali più grandi di [tex]$x$[/tex].

[myrym]

deve essere x>=n considerando che il radicando deve essere >=0.....

[myrym]

a questo punto considerando quel che dici il limite puntuale dovrebbe essere proprio 0 e quindi la succ . di funzione tende puntualmente a f(x)=0 in R, quando x>=0.

ma io non capisco il perchè...non ci sarei arrivata senza il tuo intervento...

[brogio1]

Dato che interessa pure a me questa parte vorrei confrontare con te (myrym) il mio risultato...

Io ho ragionato così c'è convergenza puntuale in tutto R con la condizione x=n avendo un limite che tende a 0 (altrimenti andrebbe ad infinito)

mentre la convergenza uniforme a me viene un risultato un po' incerto... Mi trovo l'estremo superiore attraverso la derivata:

$ 1/(2*sqrt(x-n)) $

Il limite superiore è 0 ma questo limite lo ottengo solo imponendo x>n... Quindi non capisco... avendo 0 mi verrebbe da dire che ho convergenza uniforme ma imponendo x>n vado in disaccordo con la convergenza puntuale in cui ho detto che x=n! Come ne esco fuori? Per ricapitolare la mia pazzia si traduce in:

CONVERGENZA PUNTUALE: R per x=n

CONVERGENZA UNIFORME: R per x>n

è un controsenso! o no...?

[gugo82]

Stavamo dicendo...

Fissiamo [tex]$x\in \mathbb{R}$[/tex]: visto che [tex]$\mathbb{N}$[/tex] non è limitato superiormente, esiste in corrispondenza di [tex]$x$[/tex] un numero naturale [tex]$\nu >x$[/tex]; d'altra parte, comunque si scelga [tex]$n\geq \nu$[/tex] si ha anche [tex]$x Data la'arbitrarietà nella scelta di [tex]$x$[/tex], si ha [tex]$\lim_n f_n(x)=0$[/tex] per ogni [tex]$x\in \mathbb{R}$[/tex] e da ciò segue che il limite puntuale della successione [tex]$f_n$[/tex] è l'applicazione identicamente nulla [tex]$f:\mathbb{R}\ni x\mapsto 0\in \mathbb{R}$[/tex].

La convergenza non può essere uniforme in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex]: infatti per ogni [tex]$n$[/tex] si ha [tex]$|f_n(x)-f(x)|=|f_n(x)|=f_n(x)$[/tex] e dunque [tex]$\sup_\mathbb{R} |f_n(x)-f(x)|=\sup_\mathbb{R} f_n(x) =+\infty$[/tex], perciò non è verificata la definizione di convergenza uniforme.

Tuttavia la convergenza è uniforme in ogni insieme [tex]$E\subseteq \mathbb{R}$[/tex] limitato superiormente: infatti è [tex]$\sup_E |f_n(x)-f(x)|=\sup_E f_n(x)$[/tex]; detto [tex]$\xi$[/tex] l'estremo superiore di [tex]$E$[/tex], per il ragionamento visto in precedenza esisterà un indice [tex]$\nu >\xi$[/tex] tale che per ogni [tex]$n\geq \nu$[/tex], [tex]$f_n(\xi)=0$[/tex] per [tex]$n\geq \nu$[/tex]; d'altra parte preso [tex]$n\geq \nu$[/tex], per ogni [tex]$x\in E$[/tex] si ha [tex]$x\leq \xi$[/tex], risulta pure [tex]$x

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[myrym]

ciao a tutti scusate ma mi sono assentata per qualche giorno...
volevo dirvi che non sono ancora riuscita a capire bene come risolvere l'esercizio nonostante il ragionamento di gugo sia validissimo.
La mia difficoltà sta nel mettere in pratica il tutto. Andiamo per gradi....

Il primo problema che incontro è proprio la risoluzione del limite di successione per la convergenza puntuale.

Come dice Brogio se x=n il limite va a 0, ma se x>n o x Forse mi sfugge qualcosa...

[yellow2]

Ma il concetto della convergenza puntuale è che $x$ sia fissato mentre $n$ tende a infinito, come fanno a essere uguali? E' ovvio che "prima o poi" $n$ sarà ben maggiore di $x$. E qual è la formula che rappresenta la funzione per $n>x$?

[regim]

Ti sfugge che $x$, prima lo fissi e solo poi vedi quale sarebbe la successione dei valori ottenuti con quel $x$, quando arrivi alla funzione ennesima con [tex]n>x[/tex] [tex]f_n(x) = 0[/tex] da lì in poi hai tutti $0$ come ti suggerisce Yellow.
Fai una prova, scrivi la successione dei valori delle funzioni della successione data calcolate nel punto $x = 4$.
Questi sono:

[tex]f_1(4)=\sqrt{3}[/tex];
[tex]f_2(4)=\sqrt{2}[/tex];
[tex]f_3(4)=\sqrt{1}[/tex] ;
[tex]f_4(4)= 0[/tex];
[tex]f_5(4)= 0[/tex];
[tex]f_6(4)= 0[/tex];
[tex]f_7(4)=...[/tex];

[tex].........[/tex]

[myrym]

quindi il limite puntuale è fn(x)=0 perchè se fisso il valore di x e n tende a infinito, una volta che risulta n>x, il valore del limite puntuale lo vedo direttamente dalla funzione assegnata inizialmente.... giusto?

https://www.matematicamente.it/cgi-bin/m ... 7D%5Cright)%7D%3D%7B%5Cleft%5Clbrace%5Cmatrix%7B%7B0%7D%26%5Ctext%7B%26%20se%20%7D%5C%20%7Bx%7D%3C%7Bn%7D%5C%5C%5Csqrt%7B%7B%7Bx%7D-%7Bn%7D%7D%7D%26%5Ctext%7B%26%20se%20%7D%5C%20%7Bx%7D%5Cge%7Bn%7D%7D%5Cright.%7D

[myrym]

fn(x)={ ( 0 )se x (sqrt(x-n) )se x>=n}

[regim]

"myrym":quindi il limite puntuale è fn(x)=0 perchè se fisso il valore di x e n tende a infinito, una volta che risulta n>x, il valore del limite puntuale lo vedo direttamente dalla funzione assegnata inizialmente.... giusto?

https://www.matematicamente.it/cgi-bin/m ... 7D%5Cright)%7D%3D%7B%5Cleft%5Clbrace%5Cmatrix%7B%7B0%7D%26%5Ctext%7B%26%20se%20%7D%5C%20%7Bx%7D%3C%7Bn%7D%5C%5C%5Csqrt%7B%7B%7Bx%7D-%7Bn%7D%7D%7D%26%5Ctext%7B%26%20se%20%7D%5C%20%7Bx%7D%5Cge%7Bn%7D%7D%5Cright.%7D

Poichè hai definitivamente(da un certo n in poi), in ogni punto $x$, che la successione dei valori trovata è una sequenza di $0$, il limite puntuale è $0$.
Lo calcoli certamente a partire dalla definizione delle funzioni della successione dell'esercizio, non è che sia nascosto in quella definizione e si tratta solo di scovarlo, lo devi calcolare.
Cioè, una successione di funzioni ciascuna definita nel medesimo insieme determina, per ogni punto di quell'insieme, una successione di valori, ed esattamente quelli calcolati da ogni funzione della successione di funzioni in quel medesimo punto.
Gugo ti ha formalizzato tutto, anche la risposta al quesito sull'uniforme convergenza, riguardati la sua risposta, è completa.

[myrym]

ok ti ringrazio
per quanto riguarda la convergenza uniforme non ci sono problemi.
L'unico dubbio che ho è questo:
se nell'esercizio non si ha convergenza uniforme della successione di funzione nell'intervallo considerato, come in questo caso, si può concludere così oppure bisogna necessariamente mostrare che può essere uniforme in un sottointervallo di quello dato?

[regim]

Quella è una successione di funzioni che in un sottoinsieme qualsiasi, purchè limitato, è uniformemente convergente, i problemi qui ce li hai solo se il sottoinsieme non è limitato, perchè se fissi [tex]\epsilon[/tex], non troverai mai un N a partire dal quale puoi verificare l'uniforme convergenza su tutto $RR$ insomma dove e' definita la successione, perchè ci sarà sempre un $x$ sufficentemente più grande di quel N che non verifica la relazione, quella con epsilon. La formalizzazione di quanto detto sta nel post di Gugo.
Se conlcudi dicendo solo che non è uniformemente convergente in $RR$ e basta, non ci fai una bellissima figura, e aspettati una domanda sull'uniforme convergenza.

[myrym]

mmmmm ok.... per un attimo ho sperato che la tua risposta fosse diversa
quindi in questo caso basta enunciare la definizione riportata da gugo per affermare la convergenza uniforme in un qualsiasi sottointervallo limitato?

[regim]

Gugo non ha fornito definizioni, ma delle spiegazioni, scusa se ti correggo il linguaggio, ma una definizione lì è solo quella della successione delle funzioni, il resto è una dimostrazione. Va bene comunque se dici che converge uniformemente in ogni sottointervallo limitato, il prof sarà contento, perchè qui dimostrare dove converge unif. e dove no, non richiede sforzi diversi, è praticamente quasi implicita nella prima dimostrazione.
Insomma se non dici dove converge è certo come il sole che nascerà domani che il prof ti domanda: e dove converge? Così, magari solo per cominciare l'esame orale. Questo potrebbe essere un sistema per elminare una domanda, se il prof ne fa tre o quattro una te la sei tolta, a volte occorre anche furbizia per fregare il prof.

[myrym]

ok tutto chiaro! grazie mille Regim e grazie per le correzioni che fanno sempre bene

Ora sto risolvendo un altro esercizio, sempre sulle successioni di funzioni e convergenza puntuale e uniforme...
appena finisco te lo scrivo così mi dici se va bene ... ti va ??

[regim]

Va bene.

[myrym]

$ fn(x)= nxe^{-nx} $ , con $ x in [0,1] $ questa è la successione di funzione da studiare.
LIMITE PUNTUALE:
per ogni $ x in [0,1] $ si ha $ lim n ->oo ( fn(x))= 0 $ quindi fn tende puntualmente alla funzione identicamente nulla f(x)=0

CONVERGENZA UNIFORME:

Calcoliamo $ lim n ->oo || fn -f||= lim n ->oo( Sup x in [0,1] |fn(x)-f(x)|= lim n ->oo ( Sup x in [0,1] (nxe^{-nx)) $

calcoliamo sup, e poichè per ogni n $ n in NN $ fn(x) è continua in [0,1] per Weierstrass ammette massimo, quindi:

estremo superiore x in [0,1] ( $ nxe^{-nx} $ )=max x in [0,1] ( $ nxe^{-nx} $ )

Calcoliamo il max:
poiche fn è anche derivabile su [0,1], calcolo la derivata prima che vale:

fn'(x)= $ n e^{-nx} - n^{2} x e^{-nx} = n(1-nx) e^{-nx} $

studiando la monotonia pongo fn'(x)>0 e ottengo
$ { ( (1-nx)>0 ),(e^{-nx}>0 ):} $

quindi x< (1/n) e $ (e^{-nx}>0 ) $ >0 (non so come risolvere questo punto) devo fare il grafico di segno???

[regim]

Va bene che converge alla funzione nulla, ma non converge uniformemente in quell'intervallo, perchè ti accorgi che c'è sempre un punto $x=1/n$ in cui le funzioni sono pari ad $1/e$.
Anche qui converge uniformemente, ma in sottoinsiemi qualsiasi contenuti in compatti che non contengono il punto $x=0$.

[edit] Per inciso quel $1/e$ è anche il massimo di ogni funzione della successione.

[edit] Per prima cosa, prima di vedere crescenza e decrescenza, devi trovari i punti papabili di essere minimi o massimi, e poi vedi se sono minimi o massimi.

[myrym]

si ci sono arrivata a questo...

ma nel grafico di segno ho un dubbio su come disegnare $ e^{-nx} >0 $ .
Io ho riportato una linea continua, mentre per quanto riguarda
x<1/n ho riportato una linea tratteggiata a destra di 1/n(quindi tra 1/n e 1) e continua a sinistra di 1/n (quindi tra 0 e 1/n).
Così facendo, moltiplicando i segni ho ottenuto tra 0 e 1/n il segno +, tra 1/n e 1 il segno -

poichè volevo sapere dove fn'(x)>0, quindi dove è positiva, considero 0<=x<1/n

e x=1/n è punto di max di fn su [0,1] .

è giusto?