Convergenza puntuale e uniforme della successione d funzioni
Salve! Avrei bisogno di un aiutino...a dire il vero un aiutino un pò grande... Nel mio programma di Analisi II ci sono le successioni di funzioni ma purtroppo con il nuovo ordinamento il programma è stato ridotto, anche se a me tocca portare questo argomento all'esame.
Ho provato a capirci qualcosa da sola dal libro e con alcuni esercizi ce l'ho fatta.
Con questo però non so proprio come procedere perchè è molto diverso dagli altri.
Studiare la convergenza semplice ed uniforme della seguente successione di funzione:
$f_n(x)= \{ ( 0 , ", se " x=n) :} $
non riesco a scriverlo meglio di così... -_-''
cmq spero ci sia qualcuno disposto a spiegarmi come procedere.
Dovrei calcolare inizialmente il limite puntuale , ma se faccio:
$ lim_(n -> oo ) f_n(x)= lim_(n -> oo ) sqrt(x-n) = +oo$ giusto?
e allora come si fa... questa diverge non converge proprio...
Ho provato a capirci qualcosa da sola dal libro e con alcuni esercizi ce l'ho fatta.
Con questo però non so proprio come procedere perchè è molto diverso dagli altri.
Studiare la convergenza semplice ed uniforme della seguente successione di funzione:
$f_n(x)= \{ ( 0 , ", se " x
non riesco a scriverlo meglio di così... -_-''
cmq spero ci sia qualcuno disposto a spiegarmi come procedere.
Dovrei calcolare inizialmente il limite puntuale , ma se faccio:
$ lim_(n -> oo ) f_n(x)= lim_(n -> oo ) sqrt(x-n) = +oo$ giusto?
e allora come si fa... questa diverge non converge proprio...
Risposte
Per disegnare l'esponenziale negativo, basta che ribalti quello positvo rispetto all'asse di simmetria, cioè quello delle ordinate, poi hai uno scalamento dell'asse delle ascisse, perchè hai il prodotto $n*x$, ma il disegno è quello.
E' una funzione continua ovunque, per ogni $n$, non c'è nessuna discontinuità, e cresce da zero a $1/e$(qui la derivata è positiva), e poi decresce(qui la derivata è negativa) fino a $n*e^(-n)$.
Alla fine sono giuste le tue considerazioni delle ultime 3 righe. Per il resto la funzione è continua, c'è una funzione lineare che moltiplica un esponenziale, sono entrambe continue e quindi lo sarà anche il prodotto.
ciao
[edit] C'è una piccola imprecisione nella mia precedente risposta(un post fa), scovarla!
Puoi esprimerti in termini di insiemi chiusi e limitati(i compatti sono solo i chiusi e limitati in $RR$, quindi parlare di chiuso e limitato e compatto è la stessa cosa qui)
E' una funzione continua ovunque, per ogni $n$, non c'è nessuna discontinuità, e cresce da zero a $1/e$(qui la derivata è positiva), e poi decresce(qui la derivata è negativa) fino a $n*e^(-n)$.
Alla fine sono giuste le tue considerazioni delle ultime 3 righe. Per il resto la funzione è continua, c'è una funzione lineare che moltiplica un esponenziale, sono entrambe continue e quindi lo sarà anche il prodotto.
ciao
[edit] C'è una piccola imprecisione nella mia precedente risposta(un post fa), scovarla!
Puoi esprimerti in termini di insiemi chiusi e limitati(i compatti sono solo i chiusi e limitati in $RR$, quindi parlare di chiuso e limitato e compatto è la stessa cosa qui)
La convergenza uniforme si ha in tutti i sottoinsiemi che hanno una sola proprietà, e cioè che non devono avere definitivamente , da un certo $n$ in poi cioè, i punti $1/n$, o una quantità numerabile di essi, ne come punti di accumulazione, ne che gli appartangano semplicemente, quindi in sostanza devono essere punti isolati, questo comporta che esistono aperti che li contengono che non intersecano(non hanno punti in comune) il nostro sottoinsieme, questo implica che se consideri l'unione di quegli aperti, questi è ancora un aperto, il complemento è quindi un chiuso, e poichè è limitato e contenuto in $[0,1]$ allora è compatto.
Quindi la precisazione è, che va bene ogni sottoinsieme contenuto in un compatto che non contenga definitivamente o in quantità numerabile i punti $1/n$. Il punto $0$ va sempre bene, perchè in quel punto la successione converge a zero.
Ciao
Quindi la precisazione è, che va bene ogni sottoinsieme contenuto in un compatto che non contenga definitivamente o in quantità numerabile i punti $1/n$. Il punto $0$ va sempre bene, perchè in quel punto la successione converge a zero.
Ciao
@regim: ???
Questo tuo ultimo post non è chiaro. Io direi che $f_n \to 0$ uniformemente su ogni intervallo di tipo $[a, infty)$ con $a>0$, molto più semplicemente. E questo perché per ogni $n$ più grande di $1/a$, ovvero $1/n
$"sup"_{x \in [a, \infty)}|f_n(x)|=f_n(a)=nae^{-na}$
e tende a $0$ per $n\to infty$. Fine.
Questo tuo ultimo post non è chiaro. Io direi che $f_n \to 0$ uniformemente su ogni intervallo di tipo $[a, infty)$ con $a>0$, molto più semplicemente. E questo perché per ogni $n$ più grande di $1/a$, ovvero $1/n
$"sup"_{x \in [a, \infty)}|f_n(x)|=f_n(a)=nae^{-na}$
e tende a $0$ per $n\to infty$. Fine.
effettivame te il ragionamento di regim mi sembrava un pò contorto ...
Ok dissonance giusto, completiamo aggiungedoci anche lo $0$, che è quello che mancava al mio primo post.
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