Convergenza puntuale e uniforme
Ciao a tutti, sto studiando questa serie di funzioni
$sum_(n=2)^(+oo) (x-1)^n*1/(nlog(n))$
Ho trovato che la convergenza puntuale si ha in $[0, 2)$
e adesso devo studiare la convergenza uniforme, quindi per prima cosa vedo dove c'è la totale, cioè in $[-h, h]$ con $0
il termine generale della serie in valore assoluto in $[0, 2)$ è infinitesimo... (deve essere verificata in valore assoluto giusto??)
quindi l'unico modo che conosco per verificare se c'è convergenza uniforme è supporre per assurdo che ci sia e utilizzare la condizione di Cauchy in questo modo:
qualunque $epsilon > 0$ esiste un $ni in NN$ tale che presi $n>ni$ e un qualunque $p in NN$ si ha che
$|(x-1)^(n+1)*1/((n+1)log(n+1))+...+(x-1)^(n+p)*1/((n+p)log(n+p))| < epsilon$
Solo che a questo punto non capisco come devo valutare ciò che ho scritto sopra, cioè: quella scrittura è vera e quindi c'è uniforme perchè passando al limite prima per $x->0$ e poi per $n->+oo$
ogni addendo di quella somma è $0$ o sto interpretando male ciò che ho scritto???
$sum_(n=2)^(+oo) (x-1)^n*1/(nlog(n))$
Ho trovato che la convergenza puntuale si ha in $[0, 2)$
e adesso devo studiare la convergenza uniforme, quindi per prima cosa vedo dove c'è la totale, cioè in $[-h, h]$ con $0
il termine generale della serie in valore assoluto in $[0, 2)$ è infinitesimo... (deve essere verificata in valore assoluto giusto??)
quindi l'unico modo che conosco per verificare se c'è convergenza uniforme è supporre per assurdo che ci sia e utilizzare la condizione di Cauchy in questo modo:
qualunque $epsilon > 0$ esiste un $ni in NN$ tale che presi $n>ni$ e un qualunque $p in NN$ si ha che
$|(x-1)^(n+1)*1/((n+1)log(n+1))+...+(x-1)^(n+p)*1/((n+p)log(n+p))| < epsilon$
Solo che a questo punto non capisco come devo valutare ciò che ho scritto sopra, cioè: quella scrittura è vera e quindi c'è uniforme perchè passando al limite prima per $x->0$ e poi per $n->+oo$
ogni addendo di quella somma è $0$ o sto interpretando male ciò che ho scritto???
Risposte
Non conosco il metodo con la condizione di Cauchy che hai provato ad applicare, però posso dirti che c' è un metodo più veloce.
Conosci il teorema di Abel?
Grazie a questo teorema, se hai ad esempio un intervallo di convergenza $]a,b[$ puoi distinguere tre casi:
- se nell' estremo $a$ la serie converge puntualmente allora hai convergenza uniforme in ogni compatto del tipo $[a,c]$ con $c
- l' ultimo caso è " l' unione " dei precedenti, cioè in tutto $[a,b]$ hai convergenza uniforme se la serie converge puntualmente sia in $a$ che in $b$
Conosci il teorema di Abel?
Grazie a questo teorema, se hai ad esempio un intervallo di convergenza $]a,b[$ puoi distinguere tre casi:
- se nell' estremo $a$ la serie converge puntualmente allora hai convergenza uniforme in ogni compatto del tipo $[a,c]$ con $c
- l' ultimo caso è " l' unione " dei precedenti, cioè in tutto $[a,b]$ hai convergenza uniforme se la serie converge puntualmente sia in $a$ che in $b$
Grazie. E'vero, in questo caso si può applicare Abel perchè è una serie di potenze...
Il problema è che non riesco a capire come si dimostra con Cauchy...
Il problema è che non riesco a capire come si dimostra con Cauchy...
Secondo me non è banale risolvere l'esercizio senza teorema di Abel.
Sicuramente risolverlo con Cauchy non era lo scopo di questo esercizio,
il fatto è che vorrei acquisire un po' di famigliarità con questa tecnica
che ho notato è stata applicata in un paio di esercizi svolti in aula.
Il problema è che quando si vede ad occhio che ogni addendo della somma non
tende a $0$ allora concludo facilmente che è un assurdo, ma in altri casi invece come questo
cioè quando ogni addendo tende a $0$ non so se è un assurdo o no e quindi non so se sto
dimostrando che c'è convergenza uniforme o no... infatti questo modo di procedere è
stato utilizzato per dimostrare che la serie logaritmica non converge uniformemente in $[h, 1]$
con $0
$|x^(n+1)/(n+1)+...+x^(n+p)/(n+p)| < epsilon$
passando al limite per $x->1$
$|1/(n+1)+...+1/(n+p)| < epsilon$
e poi per $n->+oo$ e si concludeva notando che è assurdo perchè sarebbe come
mostrare che la serie armonica converge.
Però io ho pensato ogni addendo di quella somma non tende a $0$? E quindi il tutto non
dovrebbe essere minore di $epsilon$???
Non riesco ad interpretare correttamente questa scrittura, o forse non centra niente
il fatto che ogni termine tenda a $0$ e si deve guardare qualcos'altro che ancora non ho capito...
il fatto è che vorrei acquisire un po' di famigliarità con questa tecnica
che ho notato è stata applicata in un paio di esercizi svolti in aula.
Il problema è che quando si vede ad occhio che ogni addendo della somma non
tende a $0$ allora concludo facilmente che è un assurdo, ma in altri casi invece come questo
cioè quando ogni addendo tende a $0$ non so se è un assurdo o no e quindi non so se sto
dimostrando che c'è convergenza uniforme o no... infatti questo modo di procedere è
stato utilizzato per dimostrare che la serie logaritmica non converge uniformemente in $[h, 1]$
con $0
$|x^(n+1)/(n+1)+...+x^(n+p)/(n+p)| < epsilon$
passando al limite per $x->1$
$|1/(n+1)+...+1/(n+p)| < epsilon$
e poi per $n->+oo$ e si concludeva notando che è assurdo perchè sarebbe come
mostrare che la serie armonica converge.
Però io ho pensato ogni addendo di quella somma non tende a $0$? E quindi il tutto non
dovrebbe essere minore di $epsilon$???
Non riesco ad interpretare correttamente questa scrittura, o forse non centra niente
il fatto che ogni termine tenda a $0$ e si deve guardare qualcos'altro che ancora non ho capito...
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