Convergenza puntuale e uniforme

[white051]

Ciao ragazzi sto studiando la convergenza puntuale e uniforme e devo dire che ho un pò di problemi.
Innanzi tutto sto esaminando degli esercizi svolti sul libro e ad un certo punto mi da una successione di funzioni
$n^2x(1-x^2)^n$ con intervallo $x in[0,1]$
Ora si dimostra che la successione ha come limite di convergenza puntuale $f(x) = 0$ e fin qui ci siamo.
Andando a considerare la convergenza uniforme e quindi dovendo calcolare il sup della successione di funzioni si calcola la derivata per trovare il punto di max, ora io non capisco come l'ha calcolata.
La derivata è $-n^2(1-x^2)^(n-1)[(2n+1)x^2-1]

come è arrivato a questa derivata??? Non ci riesco. Credo quindi di non aver capito, dobbiamo considerare nel calcolo della derivata come incognita n oppure x???

Inoltre se possibile avrei alcune domande su questo argomento:
- se dovessero uscire più punti di max devo provare con tutti e considerare poi quello che mi restituisce il valore della funzione più grande giusto?

Grazie

[robbstark1]

Ciao. La derivata è calcolata usando come incognita la $x$.
Se rivedi le definizioni (e magari anche degli esempi su un libro), vedi che la convergenza puntuale si ha quando, fissato un punto $x_0$, se scegli $n$ abbastanza grande hai che la discrepanza tra il valore in $x_0$ calcolato per la funzione $f_n$, si discosta di poco dal valore limite: $|f_n(x_0)-f(x_0)|<=epsilon$. Il problema è quanto devo scegliere grande $n$? Questo può dipendere sia da quanto vuoi piccolo $epsilon$, sia dal punto $x_0$.
Supponi che ci sia un punto $x_0$ che ti costringe sempre a scegliere $n$ molto grande, più di quanto richiedono gli altri punti. Se allora scegli un $n$ tanto grande da soddisfare la relazione $|f_n(x_0)-f(x_0)|<=epsilon$ in questo punto, a maggior ragione questo $n$ soddisfa la relazione negli altri punti. Se riesci a fare una cosa del genere la convergenza è uniforme. Quindi, l'esistenza di un massimo assoluto della funzione $|f_n(x)-f(x)|$ (che nel caso del tuo esercizio coincide con $f_n (x)$) è sufficiente a garantirti che la convergenza sia uniforme. Se ti interessa determinare esattamante il $nu$ allora sì, studi i vari massimi e vedi quello più grande. C'è solo da fare attenzione caso per caso, perchè non se una funzione ha un massimo relativo, allora ha massimo assoluto.
Spero di avere chiarito un po'.

[white051]

Grazie mille proverò a risolverlo con la x e vedo se ci riesco stavolta.
Solo questa tua frase non l'ho capita bene

"robbstark": C'è solo da fare attenzione caso per caso, perchè non se una funzione ha un massimo relativo, allora ha massimo assoluto.
Spero di avere chiarito un po'.

[robbstark1]

http://www.math.it/quiz/funzioni/curva22.gif
Non ho trovato immagini migliori, ma spero si capisca. Quella funzione ha un massimo e un minimo relativi, ma va a $+infty$ e $-infty$.
Comunque se hai a che fare con una funzione continua e definita su un intervallo chiuso e limitato, il massimo c'è sempre (Weierstrass).

[white051]

ok quindi se la funzione tende a $+infty$ non è convergente uniformemente.

Se io ho più limiti puntuali devo provare la convergenza uniforme per ogni limite?? Ma quindi la successione può convergere uniformemente anche a più funzioni??

Inoltre se ad esempio io ho una successione di funzioni di questo tipo:
$(1+n)/(1+nx^2)$ con $x in RR$

per $x!=0$
il $lim_{n \to \infty}(1+n)/(1+nx^2)=0$
ma per $x=0$
la funzione diventa $1+n$ quindi in questo caso il $lim_{n \to \infty}(1+n)=\infty$
questo vuol dire che la successione di funzioni non è convergente puntualmente??? Perché l'esercizio mi da per scontato che lo sia.
Scusa le tante domande ma cosi riesco a capire meglio.

[rubik2]

la tua prima funzione è considerata in $[0;1]$ quindi non diverge.

la seconda non mi pare che $lim_{n->+oo}(1+n)/(1+nx^2)=0$

[white051]

no riguardo la mia prima domanda era generica e non riferita alla mia prima funzione, intendo se una funzione tende a $\infty$ non ha convergenza uniforme giusto?
Se io ho più limiti puntuali devo provare la convergenza uniforme per ogni limite?? Ma quindi la successione può convergere uniformemente anche a più funzioni??


riguardo quel limite hai ragione ho sbagliato il risultato è $1/x^2$ ma anche qui la domanda resta invariata, poiché per $x=0$ la funzione non converge puntualmente, vuol dire che non ha convergenza puntuale nell'intervallo indicato che sarebbe $x in RR$?

[rubik2]

non si capisce bene cosa intendi per tendere a $oo$, se prendi $f_n(x)=x^2+1/n$ il limite puntuale è $f(x)=x^2$ e $"sup"|f_n(x)-f(x)|=1/n$ che non dipende da x e quindi la convergenza è uniforme eppure $lim_{x->+oo}f_n(x)=+oo$, diverso è il caso in cui $lim_{n->+oo}f_n(\bar(x))=+oo$ allora il limite puntuale (come dici anche te) non esiste e non ha senso parlare di convergenza uniforme a meno di togliere il punto $\bar(x)$ dal dominio delle $f_n$

[white051]

ti ringrazio per le tue spiegazioni quindi ho ragione che la successione di funzioni che ho riportato non ha limite puntuale su tutto $RR$ eppure

il libro mi dice che $(1+n)/(1+nx^2)$
con $x in RR$ ha limite puntuale su $RR$ ma a me con $x = 0$ non risulta!

accidenti questo argomento proprio non mi riesce ogni volta che credo di aver capito mi confonde

[robbstark1]

Immagino che il limite puntuale in genere ti risulta $f(x)=1/x^2$. Se è così hai ragione tu, e in $x=0$ non esiste.

[white051]

"robbstark":Immagino che il limite puntuale in genere ti risulta $f(x)=1/x^2$. Se è così hai ragione tu, e in $x=0$ non esiste.

si esatto allora stavolta non sbaglio!! Il prof ci ha dato un sacco di esercizi cosi in cui il risultato sostiene invece che ci sia la convergenza su tutto $RR$ assurdo!!!
Però mi fa piacere che ho ragione in quanto vuol dire che almeno sto entrando in sintonia con l'argomento.

Un'altra domanda, quando devo calcolare la convergenza uniforme ed ho un intervallo del tipo $-1

[white051]

sperando ancora in un vostro aiuto per le mie precedenti domande cosi cerco di capire una volte per tutte questo argomento vi posto un altro esempio per far capire dove è la mia difficoltà
abbiamo
$f_n(x) = (x+nx^2)/(x^2+2n)$ con $x in RR$

come al solito calcolare limite puntuale e uniforme.

Allora secondo i miei calcoli il limite puntuale dovrebbe essere $x^2/2$
e quindi per la convergenza uniforme devo calcolare il
$text{sup}|(x+nx^2)/(x^2+2n)-x^2/2|$ su $RR$

ora se procedo sommando e poi la derivata mi viene una funzione assurda con x^5 ecc...
A questo punto credo mi sfugga un modo più rapido di risolvere queste cose.
Spero possiate aiutarmi

[robbstark1]

In questo caso secondo me è conveniente cambiare metodo. Vedi cioè di ricavare il $nu$ tale che per $n>=nu$, si ha $|f_n (x) -f(x)|<=epsilon$.
$|(2x +2nx^2 -x^4 -2nx^2)/(2(x^2 +2n))| <= epsilon$

$|2x -x^4 |<= 2epsilon *(x^2 +2n)$

$n>= |2x -x^4|/(4epsilon) -x^2 /2 =nu $

Se riesci a eliminare la dipendenza di $nu$ da $x$, attraverso delle maggiorazioni, allora la convergenza sarebbe uniforme. In questo caso non è uniforme, perchè si vede che fissando $epsilon$ e facendo tendere $x->+-infty$, si ha che $nu->+infty$.

[white051]

"robbstark":In questo caso secondo me è conveniente cambiare metodo. Vedi cioè di ricavare il $nu$ tale che per $n>=nu$, si ha $|f_n (x) -f(x)|<=epsilon$.
$|(2x +2nx^2 -x^4 -2nx^2)/(2(x^2 +2n))| <= epsilon$

$|2x -x^4 |<= 2epsilon *(x^2 +2n)$

$n>= |2x -x^4|/(4epsilon) -x^2 /2 =nu $

Se riesci a eliminare la dipendenza di $nu$ da $x$, attraverso delle maggiorazioni, allora la convergenza sarebbe uniforme. In questo caso non è uniforme, perchè si vede che fissando $epsilon$ e facendo tendere $x->+-infty$, si ha che $nu->+infty$.

grazie per la risposta sei gentilissimo!
Per maggiorazioni tu intendi quindi che in ogni caso del genere devo far tendere $x->+-infty$ ??
E riguardo ciò che ho scritto prima...se io ho un intervallo del tipo $2

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[robbstark1]

Per maggiorazioni tu intendi quindi che in ogni caso del genere devo far tendere $x->+-infty??

Ti faccio un esempio dove applico una minorazione (non maggiorazione, avevo scritto male). Prendiamo $f_n (x) = (senx)/n$. La funzione limite è $f(x) =0$. La convergenza è uniforme?
$|f_n (x) -f(x)|<=epsilon$

$|(senx)/n| <= epsilon$

$n>= |senx|/epsilon =nu$

Ma $nu <= 1/epsilon$ indipendentemente dal punto $x$ scelto. Quindi non sbaglio sicuro se anzichè prendere $n>=|senx|/epsilon $ scelgo $n>=1/epsilon = nu'$. In questo modo ho che $nu'$ dipende solo da $epsilon$ e non dal punto $x$, quindi la convergenza è uniforme su tutto $RR$. Credo che si possa verificare facilmente anche con il metodo della derivata.
Come vedi non si deve fare tendere per forza $x->+-infty$. Nell'esempio precedente serviva per fare vedere che non sarei mai riuscito a fare una minorazione come quella che ho fatto in questo esercizio.

E riguardo ciò che ho scritto prima...se io ho un intervallo del tipo $2
Puoi studiare i limiti della funzione in $x=2$ e in $x=13$. Se vengono dei valori finiti, e la funzione è continua, allora la convergenza è uniforme. Il sup potrebbe essere uno di questi limiti (il sup non deve essere per forza un elemento dell'insieme), ma potrebbe anche essere un punto intermedio. Dipende dalle funzioni con cui hai a che fare. Comunque, se non esplicitamente richiesto, non è necessario trovare il sup, basta fare vedere che esiste.