Convergenza Puntuale e uniforme
Salve a tutti, stavo facendo un esercizio di analisi matematica e vorrei esporvi un problema:
Sia [e^(-nx)]/[1+n^2 x^2], x $ in $ R
Calcola limite puntuale e specifica in quali sottoinsiemi di R la convergenza è anche uniforme.
Per calcolare il limite puntuale ho ragionato cosi:
Fissiamo x
Per x=0: $ lim_(n -> oo ) (e^(-nx)/(1+n^2x^2)) = lim_(n -> oo )1/1=1 $
Per X=!0: $ lim_(n -> oo ) (e^(-nx)/(1+n^2x^2)) = lim_(n -> oo )(1/e^(nx)1/(n^2(1/n^2+x^2)))=0 $
Ora il punto è che:
1) Ho dubbi sul mio procedimento, non se se è corretto.
2) Per il limite uniforme devo trovare il massimo della funzione di un dato intervallo, se l'intervallo non mi viene assegnato come faccio a trovare l'intervallo? inizio a vedere se c'è convergenza uniforme su R, ma poi?
Grazie in anticipo
Sia [e^(-nx)]/[1+n^2 x^2], x $ in $ R
Calcola limite puntuale e specifica in quali sottoinsiemi di R la convergenza è anche uniforme.
Per calcolare il limite puntuale ho ragionato cosi:
Fissiamo x
Per x=0: $ lim_(n -> oo ) (e^(-nx)/(1+n^2x^2)) = lim_(n -> oo )1/1=1 $
Per X=!0: $ lim_(n -> oo ) (e^(-nx)/(1+n^2x^2)) = lim_(n -> oo )(1/e^(nx)1/(n^2(1/n^2+x^2)))=0 $
Ora il punto è che:
1) Ho dubbi sul mio procedimento, non se se è corretto.
2) Per il limite uniforme devo trovare il massimo della funzione di un dato intervallo, se l'intervallo non mi viene assegnato come faccio a trovare l'intervallo? inizio a vedere se c'è convergenza uniforme su R, ma poi?
Grazie in anticipo
Risposte
Ciao!
1) Il limite puntuale per $x=0$ è corretto, il limite puntuale per $x \ne 0$ non è corretto; va bene quello che hai scritto se $x>0$, ma se $x<0$ che succede?
2) E poi basta, l'intervallo devi averlo sempre (credo sia convenzione sottointendere che se non ti viene dato tu debba studiarla su tutto il dominio di $f_n$).
1) Il limite puntuale per $x=0$ è corretto, il limite puntuale per $x \ne 0$ non è corretto; va bene quello che hai scritto se $x>0$, ma se $x<0$ che succede?
2) E poi basta, l'intervallo devi averlo sempre (credo sia convenzione sottointendere che se non ti viene dato tu debba studiarla su tutto il dominio di $f_n$).
non ho valutato quando x<0...pero ora facendo due calcoli mi trovo nella situazione:
$ lim_(n-> oo ) e^(-n(-x))/(1+n^2(-x)^2)=lim_(n-> oo ) e^(nx)/(1+n^2x^2) $
Da qui non so come procedere trovandomi nella forma indeterminata $ oo/oo $ (ho messo in evidenza n^2 al denominatore), volevo provare a ricondurmi al limite notevole dell'esponenziale ma non posso perché n dovrebbe tendere a zero e non a infinito per applicarlo.. quindi mi trovo bloccato. Idee su come procedere?
Sul secondo punto da domanda del compito è: in quali sottoinsiemi di R c'è convergenza uniforme? ora ancora devo fare questo punto perché volevo trovare prima la convergenza puntuale, ma avevo ipotizzato se non converge uniformemente in R come trovo i sottoinsiemi in cui converge? c'è un metodo oppure mi sto facendo un problema inutile? Grazie
$ lim_(n-> oo ) e^(-n(-x))/(1+n^2(-x)^2)=lim_(n-> oo ) e^(nx)/(1+n^2x^2) $
Da qui non so come procedere trovandomi nella forma indeterminata $ oo/oo $ (ho messo in evidenza n^2 al denominatore), volevo provare a ricondurmi al limite notevole dell'esponenziale ma non posso perché n dovrebbe tendere a zero e non a infinito per applicarlo.. quindi mi trovo bloccato. Idee su come procedere?
Sul secondo punto da domanda del compito è: in quali sottoinsiemi di R c'è convergenza uniforme? ora ancora devo fare questo punto perché volevo trovare prima la convergenza puntuale, ma avevo ipotizzato se non converge uniformemente in R come trovo i sottoinsiemi in cui converge? c'è un metodo oppure mi sto facendo un problema inutile? Grazie
Sì, è una forma indeterminata, ma dovresti saperla determinare se stai studiando le successioni di funzioni; il numeratore tende all'infinito come un esponenziale, il denominatore come un polinomio.
Devi trovare prima i sottoinsiemi di convergenza puntuale, altrimenti non possiamo applicare la definizione di convergenza uniforme (ti serve il limite puntuale); quindi, chi è il limite di $f_n$ per $x<0$?
Un consiglio: se $x<0$ è $-x>0$, quindi se proprio vuoi sostituire $-x$ ad $x$ per aiutarti visivamente nel caso $x<0$ ti consiglio di porre $x=-y$ con $y>0$ (altrimenti rischi di far confusione tu e di confondere chi legge, ad una prova scritta può essere fatale).
Devi trovare prima i sottoinsiemi di convergenza puntuale, altrimenti non possiamo applicare la definizione di convergenza uniforme (ti serve il limite puntuale); quindi, chi è il limite di $f_n$ per $x<0$?
Un consiglio: se $x<0$ è $-x>0$, quindi se proprio vuoi sostituire $-x$ ad $x$ per aiutarti visivamente nel caso $x<0$ ti consiglio di porre $x=-y$ con $y>0$ (altrimenti rischi di far confusione tu e di confondere chi legge, ad una prova scritta può essere fatale).
ok, ho ragionato così: poiché il numeratore è un esponenziale, il denominatore è un polinomio, tendono entrambi ad infinito, poiché l'esponenziale tende più velocemente a infinito il risultato del limite è infinito. Dunque mi trovo nella situazione
$ f_nrarr f(x)=1 $ se x=0
$ f_nrarr f(x)=0 $ se x>0
$ f_nrarr f(x)=oo $ se x<0
ora, se è giusto, per il limite uniforme imposterei cosi:
trovo il
$ max |f_n(x)-f(x)|_(oo,A), A=(x in R:x=0) $
$ max |f_n(x)-f(x)|_(oo,B), A=(x in R:x>0) $
Una volta trovato il sup su questi due insiemi vado a fare il limite di $f_n(x_0)$ giusto?
Alla fine i dubbi che ho ora sono due, ipotizzando che la convergenza puntuale per x<0 sia giusta.
1) Trovati i tre valori a cui converge puntualmente la mia funzione, devo andare a calcolare il limite uniforme per ognuno di essi?
2) quando la mia funzione limite tende ad infinito, faccio tendere la mia $f_n(x) per x-->oo$ e se il limite è nullo c'è convergenza uniforme per x<0?
$ f_nrarr f(x)=1 $ se x=0
$ f_nrarr f(x)=0 $ se x>0
$ f_nrarr f(x)=oo $ se x<0
ora, se è giusto, per il limite uniforme imposterei cosi:
trovo il
$ max |f_n(x)-f(x)|_(oo,A), A=(x in R:x=0) $
$ max |f_n(x)-f(x)|_(oo,B), A=(x in R:x>0) $
Una volta trovato il sup su questi due insiemi vado a fare il limite di $f_n(x_0)$ giusto?
Alla fine i dubbi che ho ora sono due, ipotizzando che la convergenza puntuale per x<0 sia giusta.
1) Trovati i tre valori a cui converge puntualmente la mia funzione, devo andare a calcolare il limite uniforme per ognuno di essi?
2) quando la mia funzione limite tende ad infinito, faccio tendere la mia $f_n(x) per x-->oo$ e se il limite è nullo c'è convergenza uniforme per x<0?
Esatto, il limite puntuale ora è corretto.
La scrittura $\max |f_n(x)-f(x)|_{\infty,A}$ non ha senso, perché per definizione $\||f_n(x)-f(x)\||_{\infty,A}=\text{sup}_{A} |f_n(x)-f(x)|$; quindi o scrivi $\||f_n(x)-f(x)\||_{\infty,A}$ o scrivi $\text{sup}_{A} |f_n(x)-f(x)|$, scrivere sia $\text{sup}$ sia la norma uniforme non va bene.
In generale poi è un $\text{sup}$ e non un $\text{max}$.
Altra cosa che non ha senso: il caso in cui $A=\{x \in \mathbb{R} \ \text{t.c.} \ x=0\}$, stai studiando la convergenza uniforme che è una proprietà globale, che senso ha studiarla in un punto? Quella è la convergenza puntuale, che hai già discusso.
Quindi l'unico caso da trattare, per la convergenza uniforme, è l'insieme $B=\{x \in mathbb{R} \ \text{t.c.} \ x>0\}$.
Chi è $x_0$? La notazione va spiegata, oppure non ci si capisce reciprocamente; sembra essere il valore per cui $f_n$ raggiunge il $\text{sup}$, ma sono dovuto andare ad intuito.
1) Come detto prima, l'unico intervallo da studiare è $x>0$; sì, in tale intervallo devi calcolare il limite uniforme (se con limite uniforme intendi il limite per $n\to \infty$ di $\||f_n(x)-f(x)\||_{\infty}$);
2) non ho capito che procedimento stai seguendo, come fa ad esserci convergenza uniforme per $x<0$ se non c'è neanche convergenza puntuale per $x<0$? Sicuro/a di sapere cosa sia lo studio della convergenza in generale?
La scrittura $\max |f_n(x)-f(x)|_{\infty,A}$ non ha senso, perché per definizione $\||f_n(x)-f(x)\||_{\infty,A}=\text{sup}_{A} |f_n(x)-f(x)|$; quindi o scrivi $\||f_n(x)-f(x)\||_{\infty,A}$ o scrivi $\text{sup}_{A} |f_n(x)-f(x)|$, scrivere sia $\text{sup}$ sia la norma uniforme non va bene.
In generale poi è un $\text{sup}$ e non un $\text{max}$.
Altra cosa che non ha senso: il caso in cui $A=\{x \in \mathbb{R} \ \text{t.c.} \ x=0\}$, stai studiando la convergenza uniforme che è una proprietà globale, che senso ha studiarla in un punto? Quella è la convergenza puntuale, che hai già discusso.
Quindi l'unico caso da trattare, per la convergenza uniforme, è l'insieme $B=\{x \in mathbb{R} \ \text{t.c.} \ x>0\}$.
Chi è $x_0$? La notazione va spiegata, oppure non ci si capisce reciprocamente; sembra essere il valore per cui $f_n$ raggiunge il $\text{sup}$, ma sono dovuto andare ad intuito.
1) Come detto prima, l'unico intervallo da studiare è $x>0$; sì, in tale intervallo devi calcolare il limite uniforme (se con limite uniforme intendi il limite per $n\to \infty$ di $\||f_n(x)-f(x)\||_{\infty}$);
2) non ho capito che procedimento stai seguendo, come fa ad esserci convergenza uniforme per $x<0$ se non c'è neanche convergenza puntuale per $x<0$? Sicuro/a di sapere cosa sia lo studio della convergenza in generale?
Per quanto riguarda la questione sup/max è stato un problema di scrittura, quando scrivevo sup mi usciva il simbolo di inclusione e quindi avevo pensato di scrivere max per farmi capire.. comunque sii, capisco che se faccio quest'errore all'esame è grave.
Ho iniziato a studiare da poco la convergenza puntuale e uniforme ecco perché ho evidenti problemi, comunque ho capito i miei errori e dubbi e effettivamente bastava un po più di concentrazione..
Riguardo al limite uniforme avrei pensato:
$ ||f_n(x)-f(x)||_(oo,A)=||e^(-nx)/(1+n^2x^2)-0||_(oo,A)$
$A={x in R:x>0 }$
$f_n'(x)=( -n e^(-nx)(1+n^2x^2)-e^(-nx)(2n^2x))/(1+n^2x^2)^2>0 $
al denominatore, essendo elevato al quadrato, la condizione >0 è sempre verificata.
al numeratore trovo due risultati, in verita 3, cioé:
$x>1/n$, $e^(-nx)>0 $ che è verificata per ogni x appartenente a R, e $x>-(n+2)/n$ che penso avrebbe senso considerarla solo se avessi considerato anche le x<0 (non so se mi sono spiegato).
Comunque mettendo a sistema i due risultati trovo che la successione di funzioni decresce nell'intervallo (0,1/n) e cresce nell'intervallo (1/n,oo).
Da qui posso pensare che su tutto R non posso individuare il sup e quindi non c'è convergenza uniforme, però se mi limito all'intervallo (0,1/n) x=0 diventa sup dunque $ lim_(n->oo)f_n(x=0)=1 $
Concludo che non c'è convergenza uniforme in tale intervallo...
Ho fatto bene le mie considerazioni? Se ho fatto qualche altro errore inutile chiedo scusa XD, sto cercando ancora di capire bene come "muovermi"
Ho iniziato a studiare da poco la convergenza puntuale e uniforme ecco perché ho evidenti problemi, comunque ho capito i miei errori e dubbi e effettivamente bastava un po più di concentrazione..
Riguardo al limite uniforme avrei pensato:
$ ||f_n(x)-f(x)||_(oo,A)=||e^(-nx)/(1+n^2x^2)-0||_(oo,A)$
$A={x in R:x>0 }$
$f_n'(x)=( -n e^(-nx)(1+n^2x^2)-e^(-nx)(2n^2x))/(1+n^2x^2)^2>0 $
al denominatore, essendo elevato al quadrato, la condizione >0 è sempre verificata.
al numeratore trovo due risultati, in verita 3, cioé:
$x>1/n$, $e^(-nx)>0 $ che è verificata per ogni x appartenente a R, e $x>-(n+2)/n$ che penso avrebbe senso considerarla solo se avessi considerato anche le x<0 (non so se mi sono spiegato).
Comunque mettendo a sistema i due risultati trovo che la successione di funzioni decresce nell'intervallo (0,1/n) e cresce nell'intervallo (1/n,oo).
Da qui posso pensare che su tutto R non posso individuare il sup e quindi non c'è convergenza uniforme, però se mi limito all'intervallo (0,1/n) x=0 diventa sup dunque $ lim_(n->oo)f_n(x=0)=1 $
Concludo che non c'è convergenza uniforme in tale intervallo...
Ho fatto bene le mie considerazioni? Se ho fatto qualche altro errore inutile chiedo scusa XD, sto cercando ancora di capire bene come "muovermi"
Non devi scusarti, ci mancherebbe! Ti stai sforzando portando i tuoi tentativi e dubbi e questo basta per aiutarti con piacere.
Attenzione con queste frasi:
L'estremo superiore esiste sempre, una frase del genere può far pensare che tu non sappia questo fatto fondamentale.
Non mi torna lo studio del numeratore per la derivata: hai che
$$-ne^{-nx}(1+n^2x^2)-2n^2xe^{-nx}=e^{-nx}(-n-n^3x^2-2n^2x)=-n^3e^{-nx}\left(x^2+\frac{2}{n}x+\frac{1}{n^2}\right)=$$
$$=-n^3 e^{-nx} \left(x+\frac{1}{n}\right)^2$$
Dunque la derivata è sempre negativa, pertanto $f_n$ è decrescente per ogni $x>0$; quindi l'estremo superiore di $f_n$ coincide con
$$\lim_{x \to 0^+} f_n (x)=1$$
Dunque la norma infinito non tende a $0$ per $n\to \infty$ e dunque $f_n$ non converge uniformemente nell'intervallo $x>0$.
P.S.: Per scrivere $\text{sup}$ basta scrivere così:
Attenzione con queste frasi:
"Genny9":
Da qui posso pensare che su tutto R non posso individuare il sup
L'estremo superiore esiste sempre, una frase del genere può far pensare che tu non sappia questo fatto fondamentale.
Non mi torna lo studio del numeratore per la derivata: hai che
$$-ne^{-nx}(1+n^2x^2)-2n^2xe^{-nx}=e^{-nx}(-n-n^3x^2-2n^2x)=-n^3e^{-nx}\left(x^2+\frac{2}{n}x+\frac{1}{n^2}\right)=$$
$$=-n^3 e^{-nx} \left(x+\frac{1}{n}\right)^2$$
Dunque la derivata è sempre negativa, pertanto $f_n$ è decrescente per ogni $x>0$; quindi l'estremo superiore di $f_n$ coincide con
$$\lim_{x \to 0^+} f_n (x)=1$$
Dunque la norma infinito non tende a $0$ per $n\to \infty$ e dunque $f_n$ non converge uniformemente nell'intervallo $x>0$.
P.S.: Per scrivere $\text{sup}$ basta scrivere così:
\text{sup}
ok ora è molto più chiaro, hai applicato il teorema di continuità del limite uniforme pero qui mi sorge una domanda.
la funzione limite nell'intervallo considerato è f(x)=0 giusto? essendo una funzione costante essa non è continua? ho fatto anche qualche ricerca ora per essere sicura di quello che scrivevo.. comunque sono dettagli ho capito il concetto dell'esercizio, Grazie mille!
la funzione limite nell'intervallo considerato è f(x)=0 giusto? essendo una funzione costante essa non è continua? ho fatto anche qualche ricerca ora per essere sicura di quello che scrivevo.. comunque sono dettagli ho capito il concetto dell'esercizio, Grazie mille
!
Prego! In realtà ho modificato quella parte, perché mi sono accorto che stavamo lavorando per $x \in (0,\infty)$ e non per $x \in [0,\infty)$, scusami; per $x \in [0,\infty)$ non hai convergenza uniforme proprio perché invece in tale intervallo è
$$f(x)=\begin{cases} 1, \ \text{se} \ x=0, \\ 0, \ \text{se} \ x>0 \end{cases}$$
Quindi c'è una contraddizione con il teorema di continuità del limite uniforme, perché la $f_n$ è costituita da funzioni continue in $[0,\infty)$ mentre la funzione limite è discontinua in $[0,\infty)$ in quanto
$$\lim_{x \to 0^+} f(x)=0 \ne 1 =f(0)$$
Ora la domanda è: questo fatto implica che non c'è convergenza uniforme anche in $(0,\infty)$? Ossia: il fatto che non ci sia convergenza uniforme in un insieme più grande implica che non ci sia anche in un insieme più piccolo (ossia contenuto in esso)? Ci penso un po' e ti dico.
In ogni caso, verificare se c'è una contraddizione con i teoremi che necessitano della convergenza uniforme può sempre essere utile come approccio per smentire l'eventuale convergenza uniforme di una successione di funzioni, quindi metti nel tuo arsenale questa tecnica
Un altro approccio che può aiutare è questo: nota che se $x=\frac{1}{n} \in (0,\infty)$ si ha che $f_n\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{2e}$, quindi non può esserci convergenza uniforme in tale intervallo. Infatti abbiamo trovato un valore nell'intervallo $(0,\infty)$ per cui non può mai essere verificata $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$ per ogni $\varepsilon>0$, mentre la convergenza uniforme richiede che tale disuguaglianza sia vera per ogni $x \in (0,\infty)$.
$$f(x)=\begin{cases} 1, \ \text{se} \ x=0, \\ 0, \ \text{se} \ x>0 \end{cases}$$
Quindi c'è una contraddizione con il teorema di continuità del limite uniforme, perché la $f_n$ è costituita da funzioni continue in $[0,\infty)$ mentre la funzione limite è discontinua in $[0,\infty)$ in quanto
$$\lim_{x \to 0^+} f(x)=0 \ne 1 =f(0)$$
Ora la domanda è: questo fatto implica che non c'è convergenza uniforme anche in $(0,\infty)$? Ossia: il fatto che non ci sia convergenza uniforme in un insieme più grande implica che non ci sia anche in un insieme più piccolo (ossia contenuto in esso)? Ci penso un po' e ti dico.
In ogni caso, verificare se c'è una contraddizione con i teoremi che necessitano della convergenza uniforme può sempre essere utile come approccio per smentire l'eventuale convergenza uniforme di una successione di funzioni, quindi metti nel tuo arsenale questa tecnica
Un altro approccio che può aiutare è questo: nota che se $x=\frac{1}{n} \in (0,\infty)$ si ha che $f_n\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{2e}$, quindi non può esserci convergenza uniforme in tale intervallo. Infatti abbiamo trovato un valore nell'intervallo $(0,\infty)$ per cui non può mai essere verificata $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$ per ogni $\varepsilon>0$, mentre la convergenza uniforme richiede che tale disuguaglianza sia vera per ogni $x \in (0,\infty)$.
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