Convergenza puntuale e uniforme

[ale.vh1]

Ciao a tutti, sono alle prese con la convergenza puntuale e uniforme, vorrei sapere se il ragionamento e il risultato dato in questo esercizio vi risulta verificato.
$ sum_(k =1) sqrt(1-x^(2k))/2^k $
Applico il criterio del rapporto
$ lim_(k->oo) sqrt(1-x^(2(k+1)))/2^(k+1) *2^k/(sqrt(1-x^(2k))) $
Passaggi algebrici:
$ lim_(k->oo) 1/2sqrt((1/x^(2k)-x^2)/(1/x^(2k)-1)) $
posso dire che:
$ A:{ ( oo per |x|>2),(0 per |x|<2 ) $
Ma dato che il dominio della successione è :
$ Dom(x):[-1;1] $
effettuo l'intersezione $ Ann Dom(x)=Dom(x) $
Di conseguenza posso dire quindi che la funzione converge puntalmente nel dominio.
Successivamente cerco la convergenza puntuale ed uniforme ed applico quindi il teorema:
$ lim_(k->oo)Sup{|fn(x)-f_(oo)(x)| : x in Dom}=0 $
Però per Weiestrass; la funzione è continua nel suo dominio e tale dominio è chiuso quindi ammette un maggiorante. Posso dire che la funzione è convergente sia puntualmente che uniformemente per il suo dominio.

[ale.vh1]

up

[gugo82]

Non si capisce nulla.
Cos’è $A$?

[ale.vh1]

Chiedo scusa, hai ragione... Ho identificato $ A $ come l'insieme di convergenza della serie, quindi comprende i termini $ |x|<2 $

[gugo82]

Scusa, ma se gli addendi non sono definiti per $|x|>1$, com’è possibile che l’insieme di convergenza possa comprendere tutti gli $|x|<2$?

Ad ogni buon conto, non c’è bisogno di fare alcun calcolo per stabilire che la convergenza è totale in tutto il dominio, i.e. in tutto $[-1,1]$: infatti, vale ovunque la maggiorazione $(sqrt(1-x^(2n)))/2^n <= 1/2^n$.