Convergenza puntuale e uniforme
Salve qualcuno sarebbe cosi gentile da spiegarmi, che differenza c'è tra convergenza puntuale e uniforme nell'ambito delle successioni di funzioni di una variabile?
Risposte
Potete aiutarmi please... grazie
Salve qualcuno sarebbe cosi gentile da aiutarmi nella differenza di convergenza puntuale e uniforme per le successioni di funzione di una variabile ? grazie in anticipo
per piacere datemi una mano. La convergenza puntuale la spiego cosi, preso $x_0 \in I $ ,sia $f_n: I-> R$ una successione di funzioni, supponiamo che $f_n(x_0) $ converge a $f(x_0) $ per $ n->\infty$ , se questo accade per ogni $x \in I $ allora diciamo che la successione $f_n$ converge puntualmente alla funzione f, che prende il nome di limite puntuale della successione. Esatto?
Allora, la definizione di convergenza puntuale è questa:
\(\displaystyle f_n : I \rightarrow \mathbb{R} \)
la successione converge puntualmente alla funzione \(\displaystyle f : I \rightarrow \mathbb{R} \) se
\(\displaystyle \forall x \) fissato
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(x)=f(x)\)
La richiesta che x sia fissato è molto importante! Il nome puntuale deriva proprio dal fatto che si osserva il limite puntualmente.
Per la convergenze uniforme invece si richiede che:
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} sup_{x \in I} |f_n(x)-f(x)|=0 \)
In questo caso osservi la differenza tra le funzioni.
La convergenza uniforme è una nozione di convergenza più forte. La convergenza uniforme implica la convergenza puntuale. Inoltre se le \(\displaystyle f_n(x) \) sono continue e hai convergenza uniforme, trovi che la funzione \(\displaystyle f(x) \) è continua.
Questo è utile quando cerchi di vedere se una successione può o meno convergere uniformemente, infatti se trovi che la successione (con \(\displaystyle f_n(x) \) continue) converge puntualmente ad una funzione discontinua allora non puoi avere convergenza uniforme!
Se provi a spiegarci cosa non è chiaro, ti diamo volentieri una mano:)
\(\displaystyle f_n : I \rightarrow \mathbb{R} \)
la successione converge puntualmente alla funzione \(\displaystyle f : I \rightarrow \mathbb{R} \) se
\(\displaystyle \forall x \) fissato
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(x)=f(x)\)
La richiesta che x sia fissato è molto importante! Il nome puntuale deriva proprio dal fatto che si osserva il limite puntualmente.
Per la convergenze uniforme invece si richiede che:
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} sup_{x \in I} |f_n(x)-f(x)|=0 \)
In questo caso osservi la differenza tra le funzioni.
La convergenza uniforme è una nozione di convergenza più forte. La convergenza uniforme implica la convergenza puntuale. Inoltre se le \(\displaystyle f_n(x) \) sono continue e hai convergenza uniforme, trovi che la funzione \(\displaystyle f(x) \) è continua.
Questo è utile quando cerchi di vedere se una successione può o meno convergere uniformemente, infatti se trovi che la successione (con \(\displaystyle f_n(x) \) continue) converge puntualmente ad una funzione discontinua allora non puoi avere convergenza uniforme!
Se provi a spiegarci cosa non è chiaro, ti diamo volentieri una mano:)
per quanto riguarda la convergenza puntuale quindi la mia spiegazione è esatta? graficamente mi aiuti ad immaginare che significa la convergenza puntuale? poi parliamo di quella uniforme se vuoi .. grazie
Nella convergenza puntuale il fatto che deve valere per ogni x , implica che per n che tende ad infinito , il grafico della $f_n$ deve tendere al grafico di $f$ ?
Nella convergenza puntuale il fatto che deve valere per ogni x , implica che per n che tende ad infinito , il grafico della $f_n$ deve tendere al grafico di $f$ ?
Si esatto, i grafici tendono ad avvicinarsi man mano che n va all'infinito (prova a scaricarti un programmino per fare grafici e prova a disegnarli per n=2, n=5 e n=10, è molto più chiaro, ad esempio io uso Winplot).
Per la convergenza uniforme invece come si fa a vedere graficamente?
Ragioniamo un po' meno rigorosamente:)
Dalla definizione di limite:
\(\displaystyle sup_{x \in I} |f_n(x)-f(x)|< \epsilon \)
se c'è convergenza uniforme allora la definizione è vera, e se è vero per il sup allora:
\(\displaystyle |f_n(x)-f(x)|< \epsilon \)
che diventa:
\(\displaystyle f(x)-\epsilon < f_n(x) < f(x)+ \epsilon \)
quindi almeno per n "grande" le \(\displaystyle f_n(x) \) sono "racchiuse" graficamente dalla \(\displaystyle f(x)+\epsilon \) e la \(\displaystyle f(x)- \epsilon \)
Per la convergenza uniforme invece come si fa a vedere graficamente?
Ragioniamo un po' meno rigorosamente:)
Dalla definizione di limite:
\(\displaystyle sup_{x \in I} |f_n(x)-f(x)|< \epsilon \)
se c'è convergenza uniforme allora la definizione è vera, e se è vero per il sup allora:
\(\displaystyle |f_n(x)-f(x)|< \epsilon \)
che diventa:
\(\displaystyle f(x)-\epsilon < f_n(x) < f(x)+ \epsilon \)
quindi almeno per n "grande" le \(\displaystyle f_n(x) \) sono "racchiuse" graficamente dalla \(\displaystyle f(x)+\epsilon \) e la \(\displaystyle f(x)- \epsilon \)
ok allora la convergenza puntuale mi è chiara, almeno detto in modo non formale , adesso vediamola in modo più formale:
$f_n -> f $ puntualmente in $I$ : se per ogni $x \in I $ , per ogni $ \epsilon >0$ esiste un indice $\bar{n}=\bar{n}(\epsilon,x) \in N $ ,tale che $|f_n(x)-f(x)|<=\epsilon $ per ogni $n>=\bar{n}$
la vediamo insieme?
$f_n -> f $ puntualmente in $I$ : se per ogni $x \in I $ , per ogni $ \epsilon >0$ esiste un indice $\bar{n}=\bar{n}(\epsilon,x) \in N $ ,tale che $|f_n(x)-f(x)|<=\epsilon $ per ogni $n>=\bar{n}$
la vediamo insieme?
Si esatto, hai scritto la definizione del limite che ho scritto prima per dare la definizione di convergenza puntuale. Dimmi cosa non ti convince:)
no vorrei capire la definizione spiegata in modo meno rigoroso , usando pero sempre l ' epsilon, e poi non capisco a cosa si riferisce l'indice e quel valore assoluto cosa vuol dire !
Ps. ho difficoltà quando vado incontro a queste definizione con epsilon e valori assoluti , addirittura in quella uniforma c'è anche un sup avrei bisogno che mi fosse spiegato a parole..
Ti ringrazio infinitamente per la tua disponibilità
Ps. ho difficoltà quando vado incontro a queste definizione con epsilon e valori assoluti , addirittura in quella uniforma c'è anche un sup avrei bisogno che mi fosse spiegato a parole..
Ti ringrazio infinitamente per la tua disponibilità
Ok, guardiamo una cosa alla volta:)
Immagina di ragionare con la funzione:
\(\displaystyle f_n(x)= x^n \) definita in [0,1]
Puntualmente converge a zero in \(\displaystyle x \neq 1 \) e a uno in \(\displaystyle x=1 \)
Letta in modo non formale:
scelto a piacere un valore di \(\displaystyle \epsilon \) possiamo sempre trovare un \(\displaystyle \overline{n} \) che dipende dal punto x e da \(\displaystyle \epsilon \) per cui i grafici di \(\displaystyle f_n(x) \) e \(\displaystyle f(x) \) sono molto vicini tra loro.
Nell'immagine ti ho fatto il grafico di x^2, x^3 e x^5. Si nota come effettivamente si "schiaccino" verso l'asse x all'aumentare di n. Però si nota anche che si schiaccia "più velocemente" per le x che sono più vicine a zero che non per quelle vicine a uno. Scegliendo \(\displaystyle \epsilon \) imponi che i due grafici abbiamo una certa distanza, lo scegli tu quindi puoi sceglierlo piccolo quanto vuoi. La definizione ti dice che troverai sempre un n abbastanza grande che renda piccola la distanza tra i grafici, ma questo valore di n dipende dal punto x che hai fissato e da quanto piccolo hai scelto \(\displaystyle \epsilon \). Dal grafico si vede tutto:)
Immagina di ragionare con la funzione:
\(\displaystyle f_n(x)= x^n \) definita in [0,1]
Puntualmente converge a zero in \(\displaystyle x \neq 1 \) e a uno in \(\displaystyle x=1 \)
Letta in modo non formale:
scelto a piacere un valore di \(\displaystyle \epsilon \) possiamo sempre trovare un \(\displaystyle \overline{n} \) che dipende dal punto x e da \(\displaystyle \epsilon \) per cui i grafici di \(\displaystyle f_n(x) \) e \(\displaystyle f(x) \) sono molto vicini tra loro.
Nell'immagine ti ho fatto il grafico di x^2, x^3 e x^5. Si nota come effettivamente si "schiaccino" verso l'asse x all'aumentare di n. Però si nota anche che si schiaccia "più velocemente" per le x che sono più vicine a zero che non per quelle vicine a uno. Scegliendo \(\displaystyle \epsilon \) imponi che i due grafici abbiamo una certa distanza, lo scegli tu quindi puoi sceglierlo piccolo quanto vuoi. La definizione ti dice che troverai sempre un n abbastanza grande che renda piccola la distanza tra i grafici, ma questo valore di n dipende dal punto x che hai fissato e da quanto piccolo hai scelto \(\displaystyle \epsilon \). Dal grafico si vede tutto:)
"number22":
La definizione ti dice che troverai SEMPRE un n abbastanza grande che renda piccola la distanza tra i grafici, ma questo valore di n dipende dal punto x che hai fissato e da quanto piccolo hai scelto \(\displaystyle \epsilon \). Dal grafico si vede tutto:)
Sempre?
in poche parole l'indice $n$ che mi determina $f_n$ dipende sia da $\epsilon $ che da $x$ , quindi fissato x ed $\epsilon $ esiste un indice n per cui risulta che il grafico della mia funzione $f_n $ è compreso tra $f(x)+\epsilon $ ed $f(x)-\epsilon $ dove $f(x)$ è la funzione limite puntuale.
Però non mi è chiaro se scelgo io $\epsilon $ come puoò dipendere da x? Ad esempio se scelgo una $\epsilon=2 $ e $x=0.5 $, la definizione mi dice che esiste una funzione $f_n$ con n che dipende da epsilon e da x tale che il grafico di questa funzione per intero disti dal grafico di f per non più di $\epsilon $ esatto??
Ora dico poichè questa è la definizione di convergenza puntuale, l'esistenza di n va verificata con la definizione?
Un ulterirore domanda: quindi possiamo parlare di convergenza puntuale solo se una funzione $f_n$ converge puntualmente a $f(x)$ per ogni $x \in I$. Ad esempio se la funzione $f_n$ per un determinato x diverge oppure converge a un altro valore di f, allora non possiamo più parlare di convergenza puntuale su tutto $I$ esatto? ma soltanto su un sottoinsieme di I. E' possibile parlare di convergenza puntuale per certi valori di x e non per altri?
Buongiorno a tutti per piacere se qualcuno può accetto volentieri una mano.
@number22 mi hai abbandonato?
@number22 mi hai abbandonato?
Qualcuno mi aiuta a capire questa slide ?
Hai già guardato il tuo libro, par. 8.2 (in particolare formula (8.14))?
si ma non capisco il significato di questa dicitura, cioè il $ s u p |f_n(x)-f(x)|$ rappresenta la maggiore distanza tra $f_n $ ed $f$ esatto?
Sì, stai considerando le due funzioni \(f_n\) ed \(f\) e stai calcolando la loro distanza nella metrica Lagrangiana, ovvero stai calcolando l'estremo superiore delle distanze puntuali.
perche sta scritto rispetto a n infinitesimo e x limitato superiormente??
"rispetto a \(x\) limitato superiormente": fissato \(n\), \(E(n,x) \leq c_n\) per ogni \(x\).
"rispetto a \(n\) infinitesimo": \(\sup_x E(n,x) \to 0\) per \(n\to +\infty\).
PS: quel lucido mi fa venire il mal di mare...
"rispetto a \(n\) infinitesimo": \(\sup_x E(n,x) \to 0\) per \(n\to +\infty\).
PS: quel lucido mi fa venire il mal di mare...
pensa che questo è quello un po più sistemato !! Anche io ho la stessa sensazione XD
ci vorrebbe una virgola allora:"rispetto a n, infinitesimo " , cosi come sta scritto io avevo capito che n è infinitesimo
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