Convergenza puntuale e uniforme
Salve qualcuno sarebbe cosi gentile da spiegarmi, che differenza c'è tra convergenza puntuale e uniforme nell'ambito delle successioni di funzioni di una variabile?
Risposte
mentre nel caso di quella puntuale ? $E(n,x)$ rappresenta la distanza della funzione $f_n$ valutata nel punto $x$ fissato rispetto a $f(x)$ , dire che l'errore tende a zero nella convergenza puntuale, significa dire che i grafici si avvicinano solo per il valore di x considerato esatto?
Puntualmente -> va a \(0\) quando \(n\to +\infty\) solo nel punto \(x\) specificato.
Uniformemente -> stimo la funzione con una quantità indipendente da \(x\); questa quantità va a \(0\) per \(n\to +\infty\).
Uniformemente -> stimo la funzione con una quantità indipendente da \(x\); questa quantità va a \(0\) per \(n\to +\infty\).
@Rigel mi aiuti con l'esempio 8.35 a pag 324 del mio libro. Non capisco perchè $log (\epsilon)/log(x) +1$ quell' 1 da dove esce?
mi aiuti con questa slide?
perchè il primo limite col sup viene 1, se $x \in [-1,1]$ ? perchè 1 è un maggiorante di $x^n$ ? ma poi quella formula serve per determinare se converge uniformemente , perchè la usa per determinare la convergenza uniforme?
mi aiuti con questa slide?
perchè il primo limite col sup viene 1, se $x \in [-1,1]$ ? perchè 1 è un maggiorante di $x^n$ ? ma poi quella formula serve per determinare se converge uniformemente , perchè la usa per determinare la convergenza uniforme?
"pasqualinux":
@Rigel mi aiuti con l'esempio 8.35 a pag 324 del mio libro. Non capisco perchè $log (\epsilon)/log(x) +1$ quell' 1 da dove esce?
Esce dal fatto che devi prendere un intero maggiore o uguale a \((\log\epsilon)/(\log x)\), quindi ti basta scegliere la parte intera di \((\log\epsilon)/(\log x)\) e aggiungere \(1\) (potresti anche prendere qualsiasi intero più grande di questo).
Per capirci, se \((\log\epsilon)/(\log x) = 112.47\), questa procedura ti dà \(113\) (visto che sei un informatico, devi usare "ceil" e non "floor").
"pasqualinux":
perchè il primo limite col sup viene 1, se $x \in [-1,1]$ ? perchè 1 è un maggiorante di $x^n$ ?
Fai una cosa: prova a calcolare
\[
\sup_{x\in ]-1,1[} |x^n|.
\]
Se fai questo conto rispondi da solo alla domanda.
ma poi quella formula serve per determinare se converge uniformemente , perchè la usa per determinare la convergenza uniforme?
Come ti ho già segnalato questa mattina, vedi la formula (8.14).
e per il log? vedi post precedente
"pasqualinux":
e per il log? vedi post precedente
Ho già risposto; leggi i messaggi...
grazie nn avevo visto scusa
"Rigel":
[quote="pasqualinux"]
perchè il primo limite col sup viene 1, se $x \in [-1,1]$ ? perchè 1 è un maggiorante di $x^n$ ?
Fai una cosa: prova a calcolare
\[
\sup_{x\in ]-1,1[} |x^n|.
\]
Se fai questo conto rispondi da solo alla domanda.
ma poi quella formula serve per determinare se converge uniformemente , perchè la usa per determinare la convergenza uniforme?
Come ti ho già segnalato questa mattina, vedi la formula (8.14).[/quote]
il sup ,è un maggiorante dell'insieme,poichè $x^n$ in quell'intervallo tende a 0, allora un maggiorante potrebbe essere 1. in questo caso 1 è proprio il più piccolo dei maggioranti giusto?
ho scritto male volevo dire perchè la usa per la convergenza puntuale ,cioè usa la 8.14 anche per la convergenza puntuale, vedi slide?
Sì, il \(\sup\) vale \(1\).
La convergenza puntuale è dimostrata nella prima riga del lucido.
Subito dopo (primo freccione rosso) ti sta solo dicendo che la convergenza in \( ]-1,1[\) è solo puntuale (e non uniforme), visto che il limite dei sup non tende a \(0\).
La convergenza puntuale è dimostrata nella prima riga del lucido.
Subito dopo (primo freccione rosso) ti sta solo dicendo che la convergenza in \( ]-1,1[\) è solo puntuale (e non uniforme), visto che il limite dei sup non tende a \(0\).
cioe usa il fatto che non converge unifomemente per dire che converge puntualmente ?? mai possibile??
"Rigel":
La convergenza puntuale è dimostrata nella prima riga del lucido.
ah ok ok, per ricapitolare:
per determinare la convergenza puntuale si fa il $ lim_(n -> \infty) f_n(x)=\phi(x) $ ,nella convergenza puntuale avviene che per un certo $\epsilon$ l'errore va a 0 per x fissato e non per tutti gli x esatto? mentre nella convergenza uniforme per tutti gli x.
Quello che mi crea confusione è questo : il fatto che una successione di funzioni converga in più punti diversi implica che essa converge solo puntualmente? cioè potrebbe convergere anche uniformemente su tutto l'insieme e non solo su una sua parte come avviene per $x^n$ considerato $[0,\alpha]$(come nel lucido)? Inoltre se so che la successioni di funzioni è continua, ma il limite non lo è , allora gia posso dire che non converge uniformemente, esatto?
per determinare la convergenza puntuale si fa il $ lim_(n -> \infty) f_n(x)=\phi(x) $ ,nella convergenza puntuale avviene che per un certo $\epsilon$ l'errore va a 0 per x fissato e non per tutti gli x esatto? mentre nella convergenza uniforme per tutti gli x.
Quello che mi crea confusione è questo : il fatto che una successione di funzioni converga in più punti diversi implica che essa converge solo puntualmente? cioè potrebbe convergere anche uniformemente su tutto l'insieme e non solo su una sua parte come avviene per $x^n$ considerato $[0,\alpha]$(come nel lucido)? Inoltre se so che la successioni di funzioni è continua, ma il limite non lo è , allora gia posso dire che non converge uniformemente, esatto?
"Rigel":
"rispetto a \(x\) limitato superiormente": fissato \(n\), \(E(n,x) \leq c_n\) per ogni \(x\).
@Rigel mi spieghi un po meglio questa! grazie in anticipo
Mi diresti anche se è corretto il ragionamento di come ho calcolato il sup di $x^n$ in $]-1,1[$, quello che veniva 1.
"pasqualinux":
[quote="Rigel"]"rispetto a \(x\) limitato superiormente": fissato \(n\), \(E(n,x) \leq c_n\) per ogni \(x\).
@Rigel mi spieghi un po meglio questa![/quote]
Una funzione non negativa \(E(x)\) è limitata in \(I\) se esiste una costante \(c\) tale che \(E(x) \leq c\) per ogni \(x\in I\).
Mi diresti anche se è corretto il ragionamento di come ho calcolato il sup di $x^n$ in $]-1,1[$, quello che veniva 1.
Non c'è molto da ragionare: se proprio vuoi essere sicuro disegna la funzione e vedi cosa fa.
ah ok ok, per ricapitolare:
per determinare la convergenza puntuale si fa il $ lim_(n -> \infty) f_n(x)=\phi(x) $ ,nella convergenza puntuale avviene che per un certo $\epsilon$ l'errore va a 0 per x fissato e non per tutti gli x esatto? mentre nella convergenza uniforme per tutti gli x.
Quello che mi crea confusione è questo : il fatto che una successione di funzioni converga in più punti diversi (cioè abbia come funzione limite una funzione discontinua) implica che essa converge solo puntualmente? cioè potrebbe convergere anche uniformemente su tutto l'insieme e non solo su una suo sottointervallo, come ad esempio avviene per $x^n$ considerato $[0,\alpha]$(come nel lucido)? Inoltre se so che la successioni di funzioni è continua, ma il limite non lo è , allora gia posso dire che non converge uniformemente, esatto?
per determinare la convergenza puntuale si fa il $ lim_(n -> \infty) f_n(x)=\phi(x) $ ,nella convergenza puntuale avviene che per un certo $\epsilon$ l'errore va a 0 per x fissato e non per tutti gli x esatto? mentre nella convergenza uniforme per tutti gli x.
Quello che mi crea confusione è questo : il fatto che una successione di funzioni converga in più punti diversi (cioè abbia come funzione limite una funzione discontinua) implica che essa converge solo puntualmente? cioè potrebbe convergere anche uniformemente su tutto l'insieme e non solo su una suo sottointervallo, come ad esempio avviene per $x^n$ considerato $[0,\alpha]$(come nel lucido)? Inoltre se so che la successioni di funzioni è continua, ma il limite non lo è , allora gia posso dire che non converge uniformemente, esatto?
@rigel ci sei?
scusa pasqualinux, non prenderla a male, ma ti comporti come un muro di gomma: qualsiasi cosa uno ti dica rimbalza indietro senza lasciare alcun segno (o, perlomeno, alcun segno visibile).
Per una successione (o serie) di funzioni, prima determini l'insieme di convergenza puntuale \(A\), vale a dire l'insieme dei valori di \(x\) tali per cui hai convergenza.
La convergenza uniforme la vai a studiare solo sui sottoinsiemi di \(A\): è chiaro che non puoi avere convergenza uniforme in regioni dove non hai convergenza puntuale!
Se sei fortunato hai convergenza uniforme su tutto \(A\); se non sei così fortunato, puoi comunque avere convergenza uniforme su sottoinsiemi di \(A\). Quello che succede tipicamente (ma non è obbligatorio) negli esercizi è che, se la convergenza non è uniforme su tutto \(A\), spesso lo è, ad esempio, sui sottoinsiemi compatti di \(A\), o su sottoinsiemi che escludano intorni di punti "brutti" (questi punti "brutti" sono tipicamente punti dove si accumulano massimi o minimi della successione).
Per una successione (o serie) di funzioni, prima determini l'insieme di convergenza puntuale \(A\), vale a dire l'insieme dei valori di \(x\) tali per cui hai convergenza.
La convergenza uniforme la vai a studiare solo sui sottoinsiemi di \(A\): è chiaro che non puoi avere convergenza uniforme in regioni dove non hai convergenza puntuale!
Se sei fortunato hai convergenza uniforme su tutto \(A\); se non sei così fortunato, puoi comunque avere convergenza uniforme su sottoinsiemi di \(A\). Quello che succede tipicamente (ma non è obbligatorio) negli esercizi è che, se la convergenza non è uniforme su tutto \(A\), spesso lo è, ad esempio, sui sottoinsiemi compatti di \(A\), o su sottoinsiemi che escludano intorni di punti "brutti" (questi punti "brutti" sono tipicamente punti dove si accumulano massimi o minimi della successione).
ok grazie
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