Convergenza puntuale e totale di una serie di funzioni

[Allee1]

Salve a tutti, vi scrivo per un chiarimento sul seguente esercizio:

Stabilire la convergenza puntuale e totale della seguente serie di funzioni
$ sum_(n =1)^oo (3 arccos x)^n/(sqrt(n)pi ^n) $

Poichè si tratta di una serie di potenze, come prima cosa applico il teorema di d'Alambert, ottenendo:
$ lim_(n -> oo) | 1/(root()((n+1) pi ^(n+1))) root()(n) pi^n| = lim_(n -> oo) | root()((n) / (n+1)) (pi^n/(pi^n pi))|= 1/pi $

e dunque
$ rho = pi $

Quindi la serie converge per
$ |3 arccos x|
Ma a questo punto svolgendo le disequazioni ottengo
$ { ( arccos xpi/3 ):} => { ( x>1/2 ),( x<1/2 ):} $

Cosa ho sbagliato?

[donald_zeka]

A me non pare una serie di potenze...

[Lele0012]

Evidentemente tutti quei calcoli algebrici ti hanno distratto, perché hai applicato egregiamente il criterio del rapporto per poi perderti un bicchiere d'acqua!
$|3arccosx|<\pi \Rightarrow -\pi/3 Hai messo il segno + ad entrambi!

[Allee1]

Innanzitutto grazie per la risposta.
Si, in effetti ho dimenticato il segno meno, ma anche in questo caso svolgendo la disequazione non otterrei
$ { ( arccosx -pi/3 ):} => { ( cos(arccosx) cos (-pi/3)):} => { ( x>1/2 ),( x<1/2 ):} $

[Lele0012]

Chiedo scusa, questo post era stato sommerso da tanti altri e non mi è più capitato sott'occhio :/
Il tuo errore sta nel fatto che stai trascurando il dominio e il codominio della funzione $arccos$: la condizione...
$arccosx> -\pi/3$
è sempre verificata, in quanto la funzione $arccos$ è sempre positiva; ti resta perciò:
$arccosx<\pi/3$
la cui soluzione è $1/2

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