Convergenza puntuale e passaggio sotto il segno di integrale
Ciao a tutti!
Sto cercando di risolvere un esercizio apparentemente non difficile, ma non riesco a concludere...
Ecco il testo:
"Sia $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ uno spazio di misura e siano $f_1, f_2, ...$ funzioni elementari misurabili e non negative convergenti puntualmente ad una funzione $f$. Sia infine $A \in \ mathcal{A} $. Allora valgono le seguenti tesi:
a) Se $ \int_\Omega f_n d\mu \rightarrow \int_\Omega f d\mu < \infty $ allora $ \int_A f_n d\mu \rightarrow \int_A f d\mu $
b) Se $ \int_\Omega f_n d\mu \rightarrow \int_\Omega f d\mu = \infty $ allora non è detto che si verifichi: $ \int_A f_n d\mu \rightarrow \int_A f d\mu $ "
Per risolvere il punto a) ho tentato la strada della definizione di funzione elementare, ma arrivata ad un certo punto mi blocco. Ecco quello che ho scritto fino ad ora:
Per definizione le $f_n$ presentano la seguete forma: $ f_n = \sum_{i=1}^{m_n} \alpha_{i}^{(n)} \chi_{A_{i}^{(n)}} $ ove $\alpha_{i}^{(n)} >0$ e $A_{i}^{(n)} \in \mathcal{A} $. Segue che \[ \int_\Omega f_n d\mu = \int_\Omega \sum_{i=1}^{m_n} \alpha_{i}^{(n)} \chi_{A_{i}^{(n)}} d\mu = \sum_{i=1}^{m_n} \alpha_{i}^{(n)} \mu (A_{i}^{(n)}) \]
Ho quindi definito le funzioni $g_n := f_n \chi _{A} = \sum_{i=1}^{m_n} \alpha_{i}^{(n)} \chi_{A_{i}^{(n)} \cap A}$.
Dall'ipotesi di convergenza puntuale delle $ f_n$ si ha che \[ lim_{n \rightarrow \infty} g_n (\omega)= lim_{n \rightarrow \infty} f_n (\omega) \chi_A(\omega) = f(\omega) \chi_A (\omega) =: g(\omega) \qquad \forall \omega \in \Omega \] .
Ora posso considerare il limite dell'integrale delle $g_n$ ed è qui che sorgono i problemi...
\[ lim_{n \rightarrow \infty} \int_\Omega g_n d\mu = lim_{n \rightarrow \infty} \int_\Omega f_n \chi_A d\mu = lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{m_n} \alpha_{i}^{(n)} \mu (A_{i}^{(n)} \cap A) \]
ed ora??? Non riesco in nessun modo ad utilizzare l'ipotesi fondamentale di integrabilità della $f$ e questo è un grandissimo problema.
Per quanto riguarda il punto b), l'idea che potrebbe condurre alla soluzione è di fare in modo che la "piccolezza" dell'intervallo di integrazione al tendere di n all'infinito vinca sull' "andare all'infinito" della funzione. Detto questo, però, non riesco a produrre un vero e proprio controesempio.
Sono sulla buona strada oppure non ho capito proprio niente?
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Buona giornata!
Sto cercando di risolvere un esercizio apparentemente non difficile, ma non riesco a concludere...
Ecco il testo:
"Sia $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ uno spazio di misura e siano $f_1, f_2, ...$ funzioni elementari misurabili e non negative convergenti puntualmente ad una funzione $f$. Sia infine $A \in \ mathcal{A} $. Allora valgono le seguenti tesi:
a) Se $ \int_\Omega f_n d\mu \rightarrow \int_\Omega f d\mu < \infty $ allora $ \int_A f_n d\mu \rightarrow \int_A f d\mu $
b) Se $ \int_\Omega f_n d\mu \rightarrow \int_\Omega f d\mu = \infty $ allora non è detto che si verifichi: $ \int_A f_n d\mu \rightarrow \int_A f d\mu $ "
Per risolvere il punto a) ho tentato la strada della definizione di funzione elementare, ma arrivata ad un certo punto mi blocco. Ecco quello che ho scritto fino ad ora:
Per definizione le $f_n$ presentano la seguete forma: $ f_n = \sum_{i=1}^{m_n} \alpha_{i}^{(n)} \chi_{A_{i}^{(n)}} $ ove $\alpha_{i}^{(n)} >0$ e $A_{i}^{(n)} \in \mathcal{A} $. Segue che \[ \int_\Omega f_n d\mu = \int_\Omega \sum_{i=1}^{m_n} \alpha_{i}^{(n)} \chi_{A_{i}^{(n)}} d\mu = \sum_{i=1}^{m_n} \alpha_{i}^{(n)} \mu (A_{i}^{(n)}) \]
Ho quindi definito le funzioni $g_n := f_n \chi _{A} = \sum_{i=1}^{m_n} \alpha_{i}^{(n)} \chi_{A_{i}^{(n)} \cap A}$.
Dall'ipotesi di convergenza puntuale delle $ f_n$ si ha che \[ lim_{n \rightarrow \infty} g_n (\omega)= lim_{n \rightarrow \infty} f_n (\omega) \chi_A(\omega) = f(\omega) \chi_A (\omega) =: g(\omega) \qquad \forall \omega \in \Omega \] .
Ora posso considerare il limite dell'integrale delle $g_n$ ed è qui che sorgono i problemi...
\[ lim_{n \rightarrow \infty} \int_\Omega g_n d\mu = lim_{n \rightarrow \infty} \int_\Omega f_n \chi_A d\mu = lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{m_n} \alpha_{i}^{(n)} \mu (A_{i}^{(n)} \cap A) \]
ed ora??? Non riesco in nessun modo ad utilizzare l'ipotesi fondamentale di integrabilità della $f$ e questo è un grandissimo problema.
Per quanto riguarda il punto b), l'idea che potrebbe condurre alla soluzione è di fare in modo che la "piccolezza" dell'intervallo di integrazione al tendere di n all'infinito vinca sull' "andare all'infinito" della funzione. Detto questo, però, non riesco a produrre un vero e proprio controesempio.
Sono sulla buona strada oppure non ho capito proprio niente?
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Buona giornata!
Risposte
La (b) è più semplice di quanto tu non pensi. Prova con \(f_n=g\) dove \(g= \chi_{[0, \infty)}\). E' chiaro che \(\int_{-\infty}^\infty f_n\, dx=\infty\) e quindi questa "successione" di integrali converge, per esempio, all'integrale di \(f=\chi_{[1, \infty)}\)... Ma cosa succede su un altro dominio di integrazione, per esempio \([0, 1)\)?
Ti chiedo scusa, ma non ho ben capito l'esempio che mi hai suggerito. Però, partendo dalla tua idea, mi è venuta in mente una strada alternativa.
Definisco $ f_n :=\frac{n-1}{n} \chi_{[\frac{n-1}{n},\infty)}$ ed osservo che $f_n \rightarrow_{n\rightarrow\infty} \chi_{[1,infty)} =: f$. Si ha quindi che $\int_\RR f_n d\lambda = \infty $ e che $\int_\RR f d\lambda = \infty $; quindi risulta soddisfatta la condizione: $lim_{n\rightarrow \infty} \int_\RR f_n d\lambda = \int_\RR f d\lambda = \infty $.
Considerando ora l'intervallo $I=[0;1)$ ottengo: $\int_If_n d\lambda = \frac{n-1}{n}$ e $\int_\I f d\lambda = 0$, da cui il controesempio richiesto.
Ti sembra che tutto sia coerente o mi sono persa qualcosa?
Grazie!
Definisco $ f_n :=\frac{n-1}{n} \chi_{[\frac{n-1}{n},\infty)}$ ed osservo che $f_n \rightarrow_{n\rightarrow\infty} \chi_{[1,infty)} =: f$. Si ha quindi che $\int_\RR f_n d\lambda = \infty $ e che $\int_\RR f d\lambda = \infty $; quindi risulta soddisfatta la condizione: $lim_{n\rightarrow \infty} \int_\RR f_n d\lambda = \int_\RR f d\lambda = \infty $.
Considerando ora l'intervallo $I=[0;1)$ ottengo: $\int_If_n d\lambda = \frac{n-1}{n}$ e $\int_\I f d\lambda = 0$, da cui il controesempio richiesto.
Ti sembra che tutto sia coerente o mi sono persa qualcosa?
Grazie!
Per la prima parte si può dimostrare che \( \|f_n - f\|_1 \to 0\); da qui segue, in particolare, che $\int_A f_n \to \int_A f$ per ogni $A$ misurabile.
DImostriamo che \( \|f_n - f\|_1 \to 0\).
Sapendo che le $f_n$ (e dunque anche $f$) sono funzioni non negative abbiamo che \( [f_n - f]^{-} \leq f \in L^1 \), quindi per il teorema di convergenza dominata concludiamo che \( \|[f_n - f]^{-}\|_1 \to 0\).
Poiché per ipotesi $\int (f_n-f)\to 0$, abbiamo anche che \( \|[f_n-f]^+\|_1 = \int (f_n-f) + \int [f_n-f]^- \to 0\); di conseguenza
\[ \|f_n - f\|_1 = \|[f_n-f]^+\|_1 + \|[f_n - f]^-\|_1 \to 0.\]
DImostriamo che \( \|f_n - f\|_1 \to 0\).
Sapendo che le $f_n$ (e dunque anche $f$) sono funzioni non negative abbiamo che \( [f_n - f]^{-} \leq f \in L^1 \), quindi per il teorema di convergenza dominata concludiamo che \( \|[f_n - f]^{-}\|_1 \to 0\).
Poiché per ipotesi $\int (f_n-f)\to 0$, abbiamo anche che \( \|[f_n-f]^+\|_1 = \int (f_n-f) + \int [f_n-f]^- \to 0\); di conseguenza
\[ \|f_n - f\|_1 = \|[f_n-f]^+\|_1 + \|[f_n - f]^-\|_1 \to 0.\]
Mica mi devi chiedere scusa; anzi se il controesempio te lo trovi completamente da sola è molto meglio! Dunque, un primo erroruccio è questo:
Altro errore:
A me risulta che
\[\int_I f_n\, d\lambda= \frac{n-1}{n} \left[ 1- \frac{n-1}{n}\right]=\frac{n-1}{n^2} \to 0=\int_I f\, d\lambda. \]
Quindi il tuo controesempio non va bene, ma insisti ancora un po' che ci sei quasi. Ormai hai capito che cosa devi fare.
"Bochum11":Quasi. Infatti \(f_n \to f=\chi_{(1, \infty)}\), non a \(\chi_{[1, \infty)}\) come sostieni. Fai caso al fatto che \(f_n(1)=0\) per ogni \(n\).
Definisco $ f_n :=\frac{n-1}{n} \chi_{[\frac{n-1}{n},\infty)}$ ed osservo che $f_n \rightarrow_{n\rightarrow\infty} \chi_{[1,infty)} =: f$
Altro errore:
Considerando ora l'intervallo $I=[0;1)$ ottengo: $\int_If_n d\lambda = \frac{n-1}{n}$ e $\int_\I f d\lambda = 0$, da cui il controesempio richiesto.
A me risulta che
\[\int_I f_n\, d\lambda= \frac{n-1}{n} \left[ 1- \frac{n-1}{n}\right]=\frac{n-1}{n^2} \to 0=\int_I f\, d\lambda. \]
Quindi il tuo controesempio non va bene, ma insisti ancora un po' che ci sei quasi. Ormai hai capito che cosa devi fare.
In primo luogo grazie infinite per l'aiuto ad entrambi!
Per quanto riguarda l'esempio, non avevo riflettuto con la calma necessaria. Con la $f$ corretta adeguatamente e l'intervallo $I$ definito come $I:=[\frac{1}{2},1]$ dovrebbe tornare tutto. Giusto? Se non sbaglio,addirittura, potrei anche utilizzare come $f_n$ le funzioni definite sopra senza il coefficiente $\frac{n-1}{n}$. Infatti:
$ \int_{\frac{1}{2}}^{1} f_n d\lambda = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \chi_{[\frac{n-1}{n},\infty)} d\lambda =\frac{n-1}{n}-\frac{1}{2} = \frac{n-2}{2n} \rightarrow \frac{1}{2} != 0 = \int_{\frac{1}{2}}^{1} f d\lambda = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \chi_{(1,\infty)} d\lambda $.
Ora spero sia tutto in ordine.
Grazie ancora!
Buona serata!
Per quanto riguarda l'esempio, non avevo riflettuto con la calma necessaria. Con la $f$ corretta adeguatamente e l'intervallo $I$ definito come $I:=[\frac{1}{2},1]$ dovrebbe tornare tutto. Giusto? Se non sbaglio,addirittura, potrei anche utilizzare come $f_n$ le funzioni definite sopra senza il coefficiente $\frac{n-1}{n}$. Infatti:
$ \int_{\frac{1}{2}}^{1} f_n d\lambda = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \chi_{[\frac{n-1}{n},\infty)} d\lambda =\frac{n-1}{n}-\frac{1}{2} = \frac{n-2}{2n} \rightarrow \frac{1}{2} != 0 = \int_{\frac{1}{2}}^{1} f d\lambda = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \chi_{(1,\infty)} d\lambda $.
Ora spero sia tutto in ordine.
Grazie ancora!
Buona serata!
Controlla bene; mi sa che c'è ancora qualche errore in
\[\int_{1/2}^1 \chi_{\left[ \frac{n-1}{n}, \infty \right)}\, d\lambda.\]
A me quell'integrale risulta pari a \(1-\frac{n-1}{n}\) e ancora tende a zero. Del resto, deve tendere a zero per il teorema della convergenza dominata.
\[\int_{1/2}^1 \chi_{\left[ \frac{n-1}{n}, \infty \right)}\, d\lambda.\]
A me quell'integrale risulta pari a \(1-\frac{n-1}{n}\) e ancora tende a zero. Del resto, deve tendere a zero per il teorema della convergenza dominata.
Ho capito l'errore, un po' ingenuo e sintomo di notevole stanchezza. Ora sono cotta, ci penserò su domani mattina.
Grazie della correzione immediata.
Alla prossima!
Grazie della correzione immediata.
Alla prossima!
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