Convergenza puntuale e convergenza uniforme

[Tagliafico]

Salve!!!
Sto provando a capire un esempio che ha portato un mio docente sul modo in cui si determina se una successioni di funzioni converge o meno uniformemente.
Sia $f_n:A->R$
Sia $f_n=xe^(nx)$
$\lim_{n \to \infty}xe^(nx)=0$ questo $AA x<=0$
si determini se $f_n$ converge uniformemente.

Seguendo la definizione di convergenza puntuale ho che
$AA \epsilon>0, AA x in A EE N_(\epsilon,x) :n>=N_(\epsilon,x) |f_n(x)-f(x)|<\epsilon$

mi ricavo il mio $N_(\epsilon,x)$

$|x|e^(nx)-0|<\epsilon$ quindi, svolte le disequazioni, mi resterà
$n>log(\epsilon/|x|)/x$

ora, siccome devo verificare se la successione è uniformemente convergente o meno, il mio docente fa tendere
$x->0$
per cui $[log(\epsilon/|x|)/x]->infty$
e quindi afferma che la convergenza è uniforme.

Ma non mi è chiaro innanzitutto il fatto per cui $x->0$ (in quanto in altri esempi $x->infty$)
e non capisco da cosa sia stato dedotto che la convergenza è uniforme..

[Lorin1]

Di solito quando si studia la convergenza uniforme una tecnica utile è quella di fissare la $n in NN$ e lavorare con la successione $f_n(x)$, nel senso che vai a studiare la derivata prima in modo da capire se c'è un eventuale estremo superiore con cui puoi maggiorare la successione di partenza. Basta che ricordi la proposizione:
$f_n->^(u)f$ se e solo se sup$|f_n(x)-f(x)|=0$

[Quinzio]

Si, ma c'è un errore nei passaggi (almeno così mi sembra), in effetti così come l'hai scritta non ha molto senso.

Si parte da
$|x|e^{nx}<\epsilon$, $x<0$

cioè
$-\epsilon< |x|e^{nx}<\epsilon$

$-\epsilon/|x|
ora x è una quantità negativa, per cui per togliere il modulo dalla x, sostituisco $t=-x$
$-\epsilon/t la diseguaglianza a sx la ignoro perchè è sempre vera, rimane
$e^{-nt}< \epsilon/t$

Quindi
$-nt < log(\epsilon/t)$

$nt > log(t/\epsilon)$

$n > log(t/\epsilon)/t$

A questo punto, questa funzione $log(t/\epsilon)/t$ ha un massimo, per cui prendendo n maggiore del massimo, si ha la la convergenza uniforme.

La funzione che hai scritto tu (o il tuo prof), non ha un massimo, da cui non si capirebbe, se fosse corretta, da cosa possa derivare questa convergenza uniforme.

[Tagliafico]

Di solito quando si studia la convergenza uniforme una tecnica utile è quella di fissare la n∈N e lavorare con la successione fn(x), nel senso che vai a studiare la derivata prima in modo da capire se c'è un eventuale estremo superiore con cui puoi maggiorare la successione di partenza. Basta che ricordi la proposizione:
fn→uf se e solo se sup|fn(x)−f(x)|=0

si infatti in genere uso questo metodo dell'estremo superiore, solo che quest'esempio il docente l'ha portato prima di fare quest'osservazione^^

"Quinzio":Si, ma c'è un errore nei passaggi (almeno così mi sembra), in effetti così come l'hai scritta non ha molto senso.

Si parte da
$|x|e^{nx}<\epsilon$, $x<0$

cioè
$-\epsilon< |x|e^{nx}<\epsilon$

$-\epsilon/|x|
ora x è una quantità negativa, per cui per togliere il modulo dalla x, sostituisco $t=-x$
$-\epsilon/t la diseguaglianza a sx la ignoro perchè è sempre vera, rimane
$e^{-nt}< \epsilon/t$

Quindi
$-nt < log(\epsilon/t)$

$nt > log(t/\epsilon)$

$n > log(t/\epsilon)/t$

A questo punto, questa funzione $log(t/\epsilon)/t$ ha un massimo, per cui prendendo n maggiore del massimo, si ha la la convergenza uniforme.

La funzione che hai scritto tu (o il tuo prof), non ha un massimo, da cui non si capirebbe, se fosse corretta, da cosa possa derivare questa convergenza uniforme.

Ah, ecco!! così si che funziona!!!!!!!!^^
Grazie mille!ora è chiaro!!!

[Tagliafico]

volevo chiedere ancora un chiarimento. non sono certa di aver capito effettivamente la differenza tra convergenza uniforme e convergenza puntuale.

dalle definizioni si avvince che
${f_n(t)}$ converge puntualmente in $A$ (posto $f_n: A \to RR$) se
$AA\epsilon>0, AA t in A EE N_(\epsilon,t) :AAn>=N_(\epsilon,t) |f_n(t)-f(t)|<\epsilon$

e che

${f_n(t)}$ converge uniformente in $A$ (posto $f_n: A \to RR$) se
$AA\epsilon>0 EE N_\epsilon : AA n>=N_\epsilon|f_n(t)-f(t)|<\epsilon AA t in A$


Bene. ora però quale sarebbe la differenza effettiva tra i due?
se non erro, la convergenza puntuale dovrebbe essere la convergenza della funzione studiata punto per punto, ossia considerato un intorno $I(bar x, r)$ con $r>0$ ($r$=raggio), mi studierò il comportamento della funzione in quell'intorno, nelle vicinanze di quel punto $bar x$
invece la convergenza uniforme non dipende da un punto della funzione, ma solo da $\epsilon$. ma quindi la convergenza uniforme cosa mi dice? mi dice qual'è il carattere generale della serie di funzioni?

[dissonance]

@Tagliafico: Prova a dare un'occhiata qui, forse ti aiuta

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