Convergenza puntuale di una successione di funzioni

[liberatorimatteo]

Buonasera sto cercando di risolvere il seguente esercizio (per ora mi interessa solo il punto a) però lo posto interamente in caso dovesse servirmi ulteriore aiuto)



Allora...
Chiaramente se $x\in(0,1]$ allora definitivamente si ha $x>1/3n$ poichè $1/3n->0\nu_x$. Di conseguenza $f_n(x)/n->0 \forallx\in(0,1]$. Ora il mio problema è in zero, non so come procedere... Secondo può valere il ragionamento precedente perciò per adesso suppongo che $f_n(x)/n->f(x)\equiv0$ puntualmente
Per la convergenza uniforme osservo che

$\text(sup)_(.[0,1])|f_n(x)/n-f(x)|=\text(sup)_{.[0,1]}|f_n(x)/n|=n^(2a-1)->0 <=> a<1/2$

Quindi c'è convergenza uniforme per $a<1/2$

[otta96]

In $0$ ti basta osservare che $AAn\inNN, f_n(0)=0$, il resto è giusto.

[liberatorimatteo]

"otta96":In $0$ ti basta osservare che $AAn\inNN, f_n(0)=0$, il resto è giusto.

Ok ma il fatto che $1/(3n)->0$ non influisce nella convergenza puntuale quando $x=0$?

[otta96]

No perché per la convergenza puntuale si tiene conto solo di quello che succede nel punto, non anche in punti vicini.

[liberatorimatteo]

Ok credo di aver capito, grazie mille