Convergenza puntuale di una serie di funzioni
Dovrei verificare che la seguente successione di funzioni converge puntualmente alla funzione identicamente nulla
$f_n(x) = \{(n x, "se " 0 \le x < \frac{1}{n}),(2 - n x, "se " \frac{1}{n} \le x < \frac{2}{n}),(0, "se " \frac{2}{n} < x \le 1):}$
Si può osservare che $f_n(0) = 0$ $\forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$, quindi la successione (numerica) $f_n(0)$ converge a zero.
Consideriamo ora $x \in (0,1]$. Per ogni $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ risulta $0 < \frac{1}{n} < \frac{2}{n}$, inoltre, per ogni $\epsilon > 0$ $\exists n \in \mathbb{N}$ tale che $\frac{2}{n} < \epsilon$, basta prendere $n = \lceil \frac{2}{\epsilon} \rceil$.
Pertanto, se $n \to +\infty$, allora $x \in (\frac{2}{n}, 1]$ per ogni $x \in (0, 1]$. Quindi, per ogni $x \in (0,1]$ fissato, risulta $\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = \lim_{n \to +\infty} 0 = 0$, di conseguenza il limite puntuale è $f(x) = 0 \quad \forall x \in [0,1]$.
L'idea che ci sta dietro è questa, ma ciò che ho detto è corretto formalmente?
$f_n(x) = \{(n x, "se " 0 \le x < \frac{1}{n}),(2 - n x, "se " \frac{1}{n} \le x < \frac{2}{n}),(0, "se " \frac{2}{n} < x \le 1):}$
Si può osservare che $f_n(0) = 0$ $\forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$, quindi la successione (numerica) $f_n(0)$ converge a zero.
Consideriamo ora $x \in (0,1]$. Per ogni $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ risulta $0 < \frac{1}{n} < \frac{2}{n}$, inoltre, per ogni $\epsilon > 0$ $\exists n \in \mathbb{N}$ tale che $\frac{2}{n} < \epsilon$, basta prendere $n = \lceil \frac{2}{\epsilon} \rceil$.
Pertanto, se $n \to +\infty$, allora $x \in (\frac{2}{n}, 1]$ per ogni $x \in (0, 1]$. Quindi, per ogni $x \in (0,1]$ fissato, risulta $\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = \lim_{n \to +\infty} 0 = 0$, di conseguenza il limite puntuale è $f(x) = 0 \quad \forall x \in [0,1]$.
L'idea che ci sta dietro è questa, ma ciò che ho detto è corretto formalmente?
Risposte
Ciao, mi pare ok tranne che:
basta prendere un numero naturale n tale che $n>2/ epsilon$ (invece di inserire la parte intera)
e, direi, per maggiore chiarezza e precisione:
Pertanto, per ogni x in (0;1], si ha definitivamente $x>2/n$ (invece di se n tende a + infinito, allora....). Quindi,.....
basta prendere un numero naturale n tale che $n>2/ epsilon$ (invece di inserire la parte intera)
e, direi, per maggiore chiarezza e precisione:
Pertanto, per ogni x in (0;1], si ha definitivamente $x>2/n$ (invece di se n tende a + infinito, allora....). Quindi,.....
è una successione di funzioni "utile"
sono triangolini di uguale altezza ma la cui base va a zero
quindi la loro area va a zero
pertanto non converge a zero uniformemente, ma converge alla funzione identicamente nulla in ogni $L^p$ con $1 \le p < oo$
volendo, si può moltiplicare per $n$ l'altezza dell'ennesimo triangolino e dividere per $n$ la base
così la successione data non è definitivamente limitata (in norma "$oo$")
giracchiando per il forum ogni tanto la si incontra
sono triangolini di uguale altezza ma la cui base va a zero
quindi la loro area va a zero
pertanto non converge a zero uniformemente, ma converge alla funzione identicamente nulla in ogni $L^p$ con $1 \le p < oo$
volendo, si può moltiplicare per $n$ l'altezza dell'ennesimo triangolino e dividere per $n$ la base
così la successione data non è definitivamente limitata (in norma "$oo$")
giracchiando per il forum ogni tanto la si incontra
Ormai mi ero scoraggiato, pensando che non avrebbe più avuto risposta, e invece... grazie a entrambi! 
"Tipper":
Dovrei verificare che la seguente successione di funzioni converge puntualmente alla funzione identicamente nulla
$f_n(x) = \{(n x, "se " 0 \le x < \frac{1}{n}),(2 - n x, "se " \frac{1}{n} \le x < \frac{2}{n}),(0, "se " \frac{2}{n} < x \le 1):}$
Si può osservare che $f_n(0) = 0$ $\forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$, quindi la successione (numerica) $f_n(0)$ converge a zero.
Consideriamo ora $x \in (0,1]$. Per ogni $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ risulta $0 < \frac{1}{n} < \frac{2}{n}$, inoltre, per ogni $\epsilon > 0$ $\exists n \in \mathbb{N}$ tale che $\frac{2}{n} < \epsilon$, basta prendere $n = \lceil \frac{2}{\epsilon} \rceil$.
Pertanto, se $n \to +\infty$, allora $x \in (\frac{2}{n}, 1]$ per ogni $x \in (0, 1]$. Quindi, per ogni $x \in (0,1]$ fissato, risulta $\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = \lim_{n \to +\infty} 0 = 0$, di conseguenza il limite puntuale è $f(x) = 0 \quad \forall x \in [0,1]$.
L'idea che ci sta dietro è questa, ma ciò che ho detto è corretto formalmente?
Ancora più semplice.
L'insieme in cui $f_n$ è non nulla è $(0,2/n)$: si ha $\bigcap_n (0,2/n)=\emptyset$ e la successione d'intervalli $((0,2/n))$ è strettamente decrescente rispetto all'inclusione. Ne consegue che $AA x in [0,1]$ risulta definitivamente $f_n(x)=0$ e quindi $f_nrarr 0$ puntualmente in $[0,1]$.
Eh sì, molto più semplice ed elegante, grazie anche a che gugo82!
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