Convergenza puntuale delle parti positiva e negativa
Sia [tex]f_n:\Omega\subseteq \mathbb R^n \to \mathbb R[/tex] una succesione di funzioni avente limite puntuale [tex]f[/tex].
E' vero che [tex]f_n^+\to f^+[/tex] e [tex]f_n^- \to f^-[/tex] puntualmente? Sembrerebbe di no, infatti, laddove [tex]f_n \le 0[/tex] e [tex]f>0[/tex],
si avrebbe [tex]f_n^+ - f^+ = -f^+[/tex] che non tende a 0...
Allora però, chiedo, almeno nel caso di una successione di funzioni della forma [tex]ff_n[/tex] (con [tex]f[/tex]
limite puntuale di [tex]f_n[/tex]) che tende puntualmente a [tex]f^2[/tex], questa cosa sulle parti positiva e negativa è vera?
E' vero che [tex]f_n^+\to f^+[/tex] e [tex]f_n^- \to f^-[/tex] puntualmente? Sembrerebbe di no, infatti, laddove [tex]f_n \le 0[/tex] e [tex]f>0[/tex],
si avrebbe [tex]f_n^+ - f^+ = -f^+[/tex] che non tende a 0...
Allora però, chiedo, almeno nel caso di una successione di funzioni della forma [tex]ff_n[/tex] (con [tex]f[/tex]
limite puntuale di [tex]f_n[/tex]) che tende puntualmente a [tex]f^2[/tex], questa cosa sulle parti positiva e negativa è vera?
Risposte
"fireball":Si, è vero. Scrivi $f^+=1/2(f+|f|)$. Siccome $|*|$ è una funzione continua (...eccetera eccetera).
Sia [tex]f_n:\Omega\subseteq \mathbb R^n \to \mathbb R[/tex] una succesione di funzioni avente limite puntuale [tex]f[/tex].
E' vero che [tex]f_n^+\to f^+[/tex] e [tex]f_n^- \to f^-[/tex] puntualmente?
Sì avevo pensato anche io così! Allora qual è l'errore nel mio controesempio? Forse l'insieme [tex]\{f_n(x)\le 0 \}\cap \{f(x)>0\}[/tex] è vuoto [tex]\forall x[/tex] e [tex]\forall n[/tex]?
Non "per ogni $n$", ma "definitivamente". Se $f$ è strettamente positiva in un punto, a patto di prendere $n$ sufficientemente grande pure $f_n$ sarà positiva nello stesso punto.
Ok, ti ringrazio!
Esiste una successione di funzioni non positiva che converge ad una funzione positiva? In qualche modo non viene violato il teorema della permanenza del segno? Sto dicendo una sciocchezza? 
Comunque il mio dubbio era proprio lì... Se ci fosse un analogo del teorema della permanenza del segno anche per le successioni di funzioni...
Sicuramente c'è un esempio di successione di funzioni strettamente negativa che tende a una funzione nulla: la successione di costanti $-1/n$.
Sicuramente c'è un esempio di successione di funzioni strettamente negativa che tende a una funzione nulla: la successione di costanti $-1/n$.
Beh puntualmente hai una successione numerica, quindi il teorema della permanenza del segno lo puoi applicare ad ogni singolo punto. O no?
Supponiamo che [tex](f_n)_n[/tex] sia una successione di funzioni non positive puntualmente convergente a [tex]f[/tex].
Sia [tex]x_0\in\text{dom}((f_n)_n)[/tex] tale che [tex]f(x_0)= \ell[/tex], e supponiamo per assurdo che [tex]\ell>0[/tex], per il teorema della permanenza del segno allora esiste [tex]N\in \mathbb{N}[/tex] tale che [tex]\forall n>N[/tex] si ha che [tex]f_n(x_0)>0[/tex] andando contro l'ipotesi che la successione di funzioni è non positiva. Credo funzioni.
Supponiamo che [tex](f_n)_n[/tex] sia una successione di funzioni non positive puntualmente convergente a [tex]f[/tex].
Sia [tex]x_0\in\text{dom}((f_n)_n)[/tex] tale che [tex]f(x_0)= \ell[/tex], e supponiamo per assurdo che [tex]\ell>0[/tex], per il teorema della permanenza del segno allora esiste [tex]N\in \mathbb{N}[/tex] tale che [tex]\forall n>N[/tex] si ha che [tex]f_n(x_0)>0[/tex] andando contro l'ipotesi che la successione di funzioni è non positiva. Credo funzioni.
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