Convergenza puntuale
Salve,
non riesco proprio a capire come calcolare la convergenza puntuale.
Vi porto un esempio:
Determinare il limite puntuale della seguente successione di funzioni nell'intervallo indicato
$F_n(x) = x^n$
l'intervallo è $x in[-1,1]$
allora se considero la successione di funzione nel punto $-1$ ottengo $-1^n$ e il limite è indeterminato giusto???
se invece la considero nel punto $1$ ottengo $1^n$ che portata al limite è una forma indeterminata quindi come faccio a trovarmi con la soluzione che dice che tende ad 1???
Inoltre cosa devo analizzare dopo?? L'intervallo $[0,1)$???
Sono in confusione...
non riesco proprio a capire come calcolare la convergenza puntuale.
Vi porto un esempio:
Determinare il limite puntuale della seguente successione di funzioni nell'intervallo indicato
$F_n(x) = x^n$
l'intervallo è $x in[-1,1]$
allora se considero la successione di funzione nel punto $-1$ ottengo $-1^n$ e il limite è indeterminato giusto???
se invece la considero nel punto $1$ ottengo $1^n$ che portata al limite è una forma indeterminata quindi come faccio a trovarmi con la soluzione che dice che tende ad 1???
Inoltre cosa devo analizzare dopo?? L'intervallo $[0,1)$???
Sono in confusione...
Risposte
allora innanzitutto devi stabilire che $x^n$ è una funzione continua XDDDD ahahahahaah
vedi mio precedente post "continuità di una funzione" XDDD
ps: dove sarebbe la forma indeterminata????
vedi mio precedente post "continuità di una funzione" XDDD
ps: dove sarebbe la forma indeterminata????
Io dividerei in 4 casi:
$x=1$
$x=-1$
$x \in (-1,0)$.
$x \in [0,1)$
Poi li analizzi separatamente.
Paola
PS se la consideri nel punto 1 non hai una forma indeterminata, perchè non è che fai tendere x ad 1, ma lo consideri proprio UGUALE ad 1. $1^n =1$ per ogni $n$.
$x=1$
$x=-1$
$x \in (-1,0)$.
$x \in [0,1)$
Poi li analizzi separatamente.
Paola
PS se la consideri nel punto 1 non hai una forma indeterminata, perchè non è che fai tendere x ad 1, ma lo consideri proprio UGUALE ad 1. $1^n =1$ per ogni $n$.
in ogni caso se vuoi dimostrare le soluzioni basta che fai la derivata prima per stabilire se la funzione è crescente o decrescente.
mmm vi ringrazio ma continuo a non capire allora...
quando io trovo che una successione è $-1^n$ non posso capirne l'andamento o sbaglio???
Cosi per ogni numero negativo quindi per tutto l'intervallo $x in(-1,0)$
Riguardo al valore $1$ sostituendo ottengo $1^n$ e per $n rarr +\infty$ non è una forma indeterminata?? Non è il limite che devo fare???
quando io trovo che una successione è $-1^n$ non posso capirne l'andamento o sbaglio???
Cosi per ogni numero negativo quindi per tutto l'intervallo $x in(-1,0)$
Riguardo al valore $1$ sostituendo ottengo $1^n$ e per $n rarr +\infty$ non è una forma indeterminata?? Non è il limite che devo fare???
la tua forma indeterminata sarebbe $\{1^n\} -> \{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...\}$ hai capito come va avanti? È più che determinata direi! In un senso un po' psichedelico potresti indovinare l'ultimo numero, quello per cui $n->+\infty$... l'ultimo numero della sequenza è $1$ (non è così ovviamente).
Per quanto riguarda i numeri negativi certo, saltano quindi boh, non c'è una funzione limite se non per quelli in modulo minori di 1.
Per quanto riguarda i numeri negativi certo, saltano quindi boh, non c'è una funzione limite se non per quelli in modulo minori di 1.
Allora, andiamo per punti:
1. Se ti trovi una cosa del genere:
$\lim_{x \to x_0} f(x)^g(x)$ dove $f(x) \to 1$ e $g(x) \to \infty$
allora sì, hai una forma indeterminata. Ma $f$ e $g$ devono tendere ad $1$ e $infty$, non esserlo.
Se sostituisci ad $x$ il valore $1$, allora non è che $x \to 1$ ma $x=1$.
Tu non scrivi cose come $3 \to 3$ giusto? Il $3$ è il $3$ pnto e basta, non c'è nessun limite.
Quindi $1^n$ non è un limite, è semplicemente un innocente $1$ elevato alla $n$, che sappiamo fare sempre $1$. Viene una successione costante.
Vuoi vederlo come limite? Guarda:
$\lim_{n \to \infty} 1^n = \lim_{n \to \infty} 1 = 1$
2. $(-1)^n$ è una successione particolare, non ha limite. Se una successione ha limite $L$, tutte le sue sottosuccessioni devono avere limite $L$ (noto teorema).
Se prendi la successione suddetta, noterai che le sue sottosuccessioni
$(-1)^n$ (con $n$ pari $\Rightarrow$ diventa $(-1)^n =1$)
$(-1)^n$ (con $n$ dispari $\Rightarrow$ diventa $(-1)^n =-1$)
hanno due diversi limiti, cioè rispettivamente $1$ e $-1$. Quindi la successione $(-1)^n$ non può avere limite.
3. Invece la successione $x^n$ con $x \in (-1,0)$ ha limite. E' vero che oscilla ma si avvicina sempre di più allo $0$. Quindi ha limite $0$.
Lo vedi facendo anche qualche prova attribuendo valori ad $n$.
Più chiaro così?
Paola
1. Se ti trovi una cosa del genere:
$\lim_{x \to x_0} f(x)^g(x)$ dove $f(x) \to 1$ e $g(x) \to \infty$
allora sì, hai una forma indeterminata. Ma $f$ e $g$ devono tendere ad $1$ e $infty$, non esserlo.
Se sostituisci ad $x$ il valore $1$, allora non è che $x \to 1$ ma $x=1$.
Tu non scrivi cose come $3 \to 3$ giusto? Il $3$ è il $3$ pnto e basta, non c'è nessun limite.
Quindi $1^n$ non è un limite, è semplicemente un innocente $1$ elevato alla $n$, che sappiamo fare sempre $1$. Viene una successione costante.
Vuoi vederlo come limite? Guarda:
$\lim_{n \to \infty} 1^n = \lim_{n \to \infty} 1 = 1$
2. $(-1)^n$ è una successione particolare, non ha limite. Se una successione ha limite $L$, tutte le sue sottosuccessioni devono avere limite $L$ (noto teorema).
Se prendi la successione suddetta, noterai che le sue sottosuccessioni
$(-1)^n$ (con $n$ pari $\Rightarrow$ diventa $(-1)^n =1$)
$(-1)^n$ (con $n$ dispari $\Rightarrow$ diventa $(-1)^n =-1$)
hanno due diversi limiti, cioè rispettivamente $1$ e $-1$. Quindi la successione $(-1)^n$ non può avere limite.
3. Invece la successione $x^n$ con $x \in (-1,0)$ ha limite. E' vero che oscilla ma si avvicina sempre di più allo $0$. Quindi ha limite $0$.
Lo vedi facendo anche qualche prova attribuendo valori ad $n$.
Più chiaro così?
Paola
Grazie mille Paola adesso è molto più chiaro!!!!!
Quindi poi nell'intervallo $[0,1)$ il limite è $0$ giusto??
E come conclusione dovrei scrivere che il limite puntuale è $0$ tra $(-1,1)$, è $1$ per $x=1$ e non esiste per $x=-1$
giusto??
Quindi poi nell'intervallo $[0,1)$ il limite è $0$ giusto??
E come conclusione dovrei scrivere che il limite puntuale è $0$ tra $(-1,1)$, è $1$ per $x=1$ e non esiste per $x=-1$
giusto??
Esatto, bravo!
Paola
Paola
Grazie! 
Ora però sono alla prese con la parte della convergenza uniforme...
Ho trovato un esercizio già svolto che recita cosi:
$F_n(x)=(nx)/(1+n^2x^2)$ con $x in[-1,1]$
Calcolare convergenza puntuale e uniforme.
Ora saltiamo i passaggi della convergenza puntuale che li ho capiti e quindi alla fine abbiamo che converge puntualmente a $F(x)=0$
Ora devo trovare la convergenza uniforme. In pratica devo fare il limite per $n rarr +\infty$ dell'estremo superiore della differenza delle due funzioni.
Ora dimostrato che il sup coincide con il max cerco il max.
Quindi l'esercizio mi calcola la derivata prima che è uguale a $(n(1-n^2x^2))/(1+n^2x^2)^2$ e già trovare questa derivata mi è difficile ma comunque sono errori di calcolo, ad ogni modo quello che non capisco è il ragionamento seguente che riporto:
per ogni $n>=1$ si ha che $(f^1)_n=0$ e poi vari altri valori finché non trova il max...quello che io non capisco è perché in ogni soluzione di ogni esercizio mi pone questa condizione per ogni $n>=1$
Ora però sono alla prese con la parte della convergenza uniforme...
Ho trovato un esercizio già svolto che recita cosi:
$F_n(x)=(nx)/(1+n^2x^2)$ con $x in[-1,1]$
Calcolare convergenza puntuale e uniforme.
Ora saltiamo i passaggi della convergenza puntuale che li ho capiti e quindi alla fine abbiamo che converge puntualmente a $F(x)=0$
Ora devo trovare la convergenza uniforme. In pratica devo fare il limite per $n rarr +\infty$ dell'estremo superiore della differenza delle due funzioni.
Ora dimostrato che il sup coincide con il max cerco il max.
Quindi l'esercizio mi calcola la derivata prima che è uguale a $(n(1-n^2x^2))/(1+n^2x^2)^2$ e già trovare questa derivata mi è difficile ma comunque sono errori di calcolo, ad ogni modo quello che non capisco è il ragionamento seguente che riporto:
per ogni $n>=1$ si ha che $(f^1)_n=0$ e poi vari altri valori finché non trova il max...quello che io non capisco è perché in ogni soluzione di ogni esercizio mi pone questa condizione per ogni $n>=1$
"white05":
Quindi l'esercizio mi calcola la derivata prima che è uguale a $(n(1-n^2x^2))/(1+n^2x^2)^2$ e già trovare questa derivata mi è difficile ma comunque sono errori di calcolo, ad ogni modo quello che non capisco è il ragionamento seguente che riporto:
per ogni $n>=1$ si ha che $(f^1)_n(x)=0$ e poi vari altri valori finché non trova il max...quello che io non capisco è perché in ogni soluzione di ogni esercizio mi pone questa condizione per ogni $n>=1$
Ma Analisi I lo hai fatto?
Ti ricordi come si trovano i massimi ed i minimi (assoluti) delle funzioni derivabili?
Se ti ricordi come si fa, queste cose ti vengono naturali; se non ti ricordi, prendi un eserciziario di Analisi I e ricomincia dallo studio di funzione.
a me hanno insegnato a trovare i max e i min ponendo la derivata prima maggiore di zero e quindi risolvendo la disequazione.
Quello che non capisco è il perché della condizione $n>=1$
Quello che non capisco è il perché della condizione $n>=1$
Forse perchè la successione è definita per indici $n\in NN$ e, secondo l'autore del testo, $0\notin NN$?
Oppure perchè per $n=0$, $f_0(x)=0$ identicamente e quindi non c'è nulla da ricercare?
Dai, un po' di fantasia.
Oppure perchè per $n=0$, $f_0(x)=0$ identicamente e quindi non c'è nulla da ricercare?
Dai, un po' di fantasia.
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