Convergenza puntuale
Salve ragazzi.
Avrei bisogno di sapere se questo esercizio è corretto, ho qualche dubbio sull'insieme di convergenza puntuale:
$sum (n-1)/(2^n(n+2)) * (x^2-x)^n$
A me risulta che il raggio di convergenza è $2$.
Ora, tramite la disequazione $x^2 - x < 2$ ottengo i valori $-1$ e $2$. Posso dire che c'è convergenza puntuale nell'intervallo $(-1, 2)$ ? Vi ringrazio.
Avrei bisogno di sapere se questo esercizio è corretto, ho qualche dubbio sull'insieme di convergenza puntuale:
$sum (n-1)/(2^n(n+2)) * (x^2-x)^n$
A me risulta che il raggio di convergenza è $2$.
Ora, tramite la disequazione $x^2 - x < 2$ ottengo i valori $-1$ e $2$. Posso dire che c'è convergenza puntuale nell'intervallo $(-1, 2)$ ? Vi ringrazio.
Risposte
Dando per scontato che tu abbia calcolato bene gli estremi del raggio di convergenza la serie converge assolutamente e quindi puntalmente in $(a,b)$ e converge totalmente in $(a+k,b-k)$ con $k>0$
Ciò vuol dire che il mio ragionamento/procedimento è corretto ?
La convergenza totale dovrebbe essere in sottoinsieme compatto di $(a, b)$, dato che diverge per $x^2 - x= pm 2$.
Ho visto su internet molti esercizi in cui, dal principio, pongono funzioni del genere uguale a $t$ ad esempio.
Provando ad emulare, verrebbe in tal caso una convergenza puntuale per $t$ in $(-2, 2)$ il che vorrebbe dire $-2 < t < 2$.
Andando a sostituire con $t = x^2 - x$ verrebbe $-2 < x^2 - x < 2$, il che vorrebbe dire il sistema:
${(x^2 - x + 2 > 0),(x^2 - x - 2 < 0):}$
Nella prima disequazione ho delta negativa (quindi non la considero ai fini del sistema), nella seconda ottengo i valori $-1$ e $2$. Ergo dovrei ottenere una convergenza puntuale in $(-1, 2)$.
La convergenza totale dovrebbe essere in sottoinsieme compatto di $(a, b)$, dato che diverge per $x^2 - x= pm 2$.
Ho visto su internet molti esercizi in cui, dal principio, pongono funzioni del genere uguale a $t$ ad esempio.
Provando ad emulare, verrebbe in tal caso una convergenza puntuale per $t$ in $(-2, 2)$ il che vorrebbe dire $-2 < t < 2$.
Andando a sostituire con $t = x^2 - x$ verrebbe $-2 < x^2 - x < 2$, il che vorrebbe dire il sistema:
${(x^2 - x + 2 > 0),(x^2 - x - 2 < 0):}$
Nella prima disequazione ho delta negativa (quindi non la considero ai fini del sistema), nella seconda ottengo i valori $-1$ e $2$. Ergo dovrei ottenere una convergenza puntuale in $(-1, 2)$.
Esattamente. Ora studiando la convergenza puntuale agli estremi potrai dire qualcosa sulla convergenza uniforme grazie al teorema di Abel...
Perfetto. In tal caso trovo una divergenza sia in caso $t = 2$ che $t = -2$.
Quindi posso dire che converge uniformemente in ogni sottoinsieme compatto del tipo $[a, b] sube (-1, 2)$.
Questo metodo è ovviamente applicabile per qualsiasi tipo di funzione, no ?
Ad esempio se avessi avuto $logx$ invece che $x^2 - x$, avrei ottenuto una convergenza puntuale in $(e^(-2), e^2)$.
Quindi posso dire che converge uniformemente in ogni sottoinsieme compatto del tipo $[a, b] sube (-1, 2)$.
Questo metodo è ovviamente applicabile per qualsiasi tipo di funzione, no ?
Ad esempio se avessi avuto $logx$ invece che $x^2 - x$, avrei ottenuto una convergenza puntuale in $(e^(-2), e^2)$.
Ho notato come la serie di potenze:
$sum (-1)^n/((2n+1)^(1/2)) * t^n$
converga per $t = 1$ ma diverga per $t = -1$. Posso dire quindi che la converganza uniforme è in ogni sottoinsieme compatto di $(-1, +1]$ ?
$sum (-1)^n/((2n+1)^(1/2)) * t^n$
converga per $t = 1$ ma diverga per $t = -1$. Posso dire quindi che la converganza uniforme è in ogni sottoinsieme compatto di $(-1, +1]$ ?
esatto
Ottimo.
In tal caso $t = x^2 - x - 1$.
Ho messo a sistema con $> -1$ e $< 1$ ed ho ottenuto due insieme di convergenza puntuale per $x$, cioè $(-1, 0)$ e $(1, 2)$. Lo trovi corretto ?
In tal caso $t = x^2 - x - 1$.
Ho messo a sistema con $> -1$ e $< 1$ ed ho ottenuto due insieme di convergenza puntuale per $x$, cioè $(-1, 0)$ e $(1, 2)$. Lo trovi corretto ?
Scusami, la t non era uguale a $t= x^2 - x$?
No ma questo è un altro esercizio 
Comunque ti devo porre una domanda sul teorema di D'Alembert.
Voglio applicarlo ad una serie di potenze di termine generale $a_n = (1 + 1/n)^(n^2)$. Ora, ti volevo chiedere se è esatto scrivere il limite in questo modo:
$lim [(1 + 1/(n+1))^((n+1)^2)]/[(1 + 1/n)^(n^2)]$
Comunque ti devo porre una domanda sul teorema di D'Alembert.
Voglio applicarlo ad una serie di potenze di termine generale $a_n = (1 + 1/n)^(n^2)$. Ora, ti volevo chiedere se è esatto scrivere il limite in questo modo:
$lim [(1 + 1/(n+1))^((n+1)^2)]/[(1 + 1/n)^(n^2)]$
Sì, è esatto 
Perfetto.
Ti ringrazio, sei stato gentilissimo.
Ti ringrazio, sei stato gentilissimo.
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