Convergenza normale serie di funzioni: è un problema se $n_0$ della definizione dipende da $x$?

[midu107]

Data una serie di funzioni $\sum_{n\geq 0} u_n(x)$, la convergenza normale (o totale) su un sottoinsieme $S\subset \mathbb{R}$ è definita come:
$$\exists\,\, M_{n}>0 : \sum_{n \geq 0} M_n \,\,\,\,\mathrm{converge}\,\,\,\, \mathrm{e} \,\,\, \forall n>n_0 \,\,\, |u_{n}(x)|\leq M_n \,\,\,\forall x \in S$$
Dove le $M_n$ sono funzioni, appunto, solo di $n$ e non di $x$.
Ho un dubbio su questa definizione: è un problema se $n_0$ dipende da $x$?

Per esempio, supponendo di riuscire a trovare delle $M_n$ tali che
$$\mathrm{lim}_{n \to \infty} \frac{|u_n(x)|}{M_n}=0$$
Questo significa che $\exists n_0 : \forall n>n_0 |u_n(x)|\leq M_n$, che è quanto richiesto dalla definizione di conv normale, ma questo $n_0$ in generale dipenderebbe da $x$. Potrei in questo caso procedere a dimostrare la convergenza normale, oppure il fatto che $n_0$ dipende da $x$ mi impedisce di utilizzare le $M_n$ trovate per dimostrare la conv normale perché la dipendenza di $n_0$ da $x$ va contro il fatto che la convergenza normale è qualcosa di indipendente da $x$?

Nel caso potrebbe essere una soluzione considerare $n_0^{*}=\max_{x \in S} \{n_0(x) \}$ e usare questo per la convergenza?
Resterebbe comunque il fatto che in generale anche $n_0$ potrebbe andare a infinito al variare di $x$ quindi può non esistere il massimo..

La cosa mi confonde un po perciò sarei grato per qualunque suggerimento.

[coffee2]

Prova ad applicare questo ragionamento a $u_n(x)=\frac{1}{1+(x-n)^2}$, $S=\mathbb R$

[midu107]

Grazie mille per la risposta! Visto che mi proponi un esempio deduco che sia in effetti un problema questa dipendenza da $x$ di $n_0$.
In realtà io avrei considerato $M_n=\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$, in modo che
$$\mathrm{lim}_{n \to \infty} \frac{|u_n(x)|}{M_n}=0$$
E qui sta il problema.. A questo punto, se potessi, scriverei
$$|u_n(x)|\leq\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \,\,\, \forall n >n_0 \,\,\, \forall x \in S $$
Da cui concluderei la convergenza normale, essendo $\sum_{n \geq 0} M_n$ convergente.
Però evidentemente qualcosa non va in quel $forall n >n_0 \forall x \in S $.. C'è qualcosa di errato nell'approccio usato?

[coffee2]

Prego

Osserva questa cosa: se la serie delle $u_n$ fosse totalmente convergente, allora quando chiamo $u_n^{\ast}$ l'estremo superiore di $|u_n|$ su $S$ (cioè l'estremo superiore dell'insieme $\{|u_n(x)|:x\in S\}$) trovo per confronto che esiste $n_0$ tale che \[ \sum_{n\geq n_0}u_n^{\ast} < +\infty \] Potremmo dire che questa è una condizione necessaria per la convergenza totale di una serie di funzioni: è soddisfatta?

[midu107]

Non è soddisfatta perché $$\mathrm{sup} |u_n(x)|=1$$ e la serie $\sum_{n>n_0} 1$ non converge per nessun $n_0$.

Grazie ancora per la risposta!

Se posso ancora chiederti una cosa che ho assunto implicitamente quando ho fatto la domanda ma di cui non sono sicuro:
l'$n_0$ di cui parlo nella mia domanda iniziale può essere diverso dal numero da cui parte la serie?
Per esempio se avessi $$\sum_{n \geq 3} u_n(x)$$ e trovassi che la condizione $$|u_n(x)|

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