Convergenza nei punti di frontiera di una serie di potenze

[Tommaso951]

Ciao a tutti! Ho un problema con questo tipo di esercizi:

$\sum_{n=0}^infty (z^n)/((n+1)2^n)$

Non riesco a capire come faccio a studiare la convergenza nei punti di frontiera (in questo caso per esempio, la serie converge per ogni valore di z complesso tranne z=2).
Come si studia la convergenza per capire che gli altri valori di z che hanno modulo 2 vanno bene?

Grazie per le risposte.

[Rigel1]

Prendi \(z = 2 e^{i\theta}\), con \(\theta\in\mathbb{R}\). Hai che
\[
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{(n+1) 2^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{ni\theta}}{(n+1)}\,.
\]
Per \(\theta\neq 2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\), puoi dimostrare che questa serie è convergente utilizzando il criterio di sommazione per parti (cfr. Rudin, Principles, Thm. 3.42).
Infatti, posto \(a_n := e^{ni\theta}\) e \(b_n = \frac{1}{n+1}\), si ha che \(b_n \searrow 0\) e la successione
\[
A_n := \sum_{k=0}^n a_k = \frac{1-e^{(n+1)i\theta}}{1-e^{i\theta}}
\]
è limitata, poiché
\[
|A_n| \leq \frac{2}{|1-e^{i\theta}|}\,.
\]

[Tommaso951]

Perfetto, grazie mille!