Convergenza $L^1$, quasi ovunque e sottosuccessioni
Buonasera,
Si ha:
Mi chiedo se vale il seguente:
[strike]La domanda sorge da uno svolgimento di un esercizio nel quale, mi pare, si usi tale risultato.[/strike] Ancor prima di pubblicare mi correggo, l'esercizio non utilizza questo fatto, che credo inoltre sia falso.
Infatti dalla successione di partenza si possono estrarre infinite successioni, ognuna con il suo comportamento. Tra queste, la proposizioni di prima afferma che ce n'è una convergente allo stesso limite \(f\), ma ciò non implica affatto che anche le altre lo siano.
Che dite?
_______
Venendo al motivo per cui ho aperto il post:
Svolgimento:
Devo verificare che se $f_n \in D$, \(\|f_n - f\|_2 \to 0 \) con \(f \in \ L^2(-1,1)\) allora $f \in D$.
L'insieme $(-1,1)$ ha misura finita quindi \(L^2(-1,1) \subset L^1(-1,1)\) e \(\|f_n - f\|_2 \to 0 \ \implies \ \|f_n - f\|_1 \to 0\).
A questo punto utilizzo la proposizione di inizio post e quindi affermo che esiste \(f_{n_k}\) tale che \(f_{n_k} \to f \ q.o.\).
Dato che \(f_{n_k} \in D\) abbiamo \(f_{n_k}(-x) = f_{n_k}(x)\) e quindi:
\[f(-x) = \lim_{k \to \infty} f_{n_k}(-x) \ q.o. = \lim_{k \to \infty} f_{n_k}(x) \ q.o. = f(x)\]
Questo passaggio è un po' bruttino, bisognerebbe passare per la definizione ma la sostanza non cambia.
Ho dimostrato che $f$ è pari quasi ovunque e che quindi il sottospazio è chiuso.
Il passaggio che mi creava perplessità era il fatto di utilizzare la sottosuccessione per ricavare informazioni sulla funzione limite. Adesso mi pare più chiaro ma mi rimane un senso di insoddisfazione.
Voi che ne dite, vi pare corretto?
Si ha:
Proposition \(f_n \to f \ \text{in} \ L^1 \ \implies \ \exists n_k \ : \ f_{n_k} \to f \ q.o. \)
Mi chiedo se vale il seguente:
Claim \(f_n \to f \ \text{in} \ L^1\) e \(\exists n_k \ : \ f_{n_k} \to g \ \ q.o. \). Allora \(f = g \ q.o. \)
[strike]La domanda sorge da uno svolgimento di un esercizio nel quale, mi pare, si usi tale risultato.[/strike] Ancor prima di pubblicare mi correggo, l'esercizio non utilizza questo fatto, che credo inoltre sia falso.
Infatti dalla successione di partenza si possono estrarre infinite successioni, ognuna con il suo comportamento. Tra queste, la proposizioni di prima afferma che ce n'è una convergente allo stesso limite \(f\), ma ciò non implica affatto che anche le altre lo siano.
Che dite?
_______
Venendo al motivo per cui ho aperto il post:
Dato \(L^2(-1,1)\) sia $D$ il sottospazio delle funzioni pari. Si verifichi che è un sottospazio chiuso.
Svolgimento:
Devo verificare che se $f_n \in D$, \(\|f_n - f\|_2 \to 0 \) con \(f \in \ L^2(-1,1)\) allora $f \in D$.
L'insieme $(-1,1)$ ha misura finita quindi \(L^2(-1,1) \subset L^1(-1,1)\) e \(\|f_n - f\|_2 \to 0 \ \implies \ \|f_n - f\|_1 \to 0\).
A questo punto utilizzo la proposizione di inizio post e quindi affermo che esiste \(f_{n_k}\) tale che \(f_{n_k} \to f \ q.o.\).
Dato che \(f_{n_k} \in D\) abbiamo \(f_{n_k}(-x) = f_{n_k}(x)\) e quindi:
\[f(-x) = \lim_{k \to \infty} f_{n_k}(-x) \ q.o. = \lim_{k \to \infty} f_{n_k}(x) \ q.o. = f(x)\]
Questo passaggio è un po' bruttino, bisognerebbe passare per la definizione ma la sostanza non cambia.
Ho dimostrato che $f$ è pari quasi ovunque e che quindi il sottospazio è chiuso.
Il passaggio che mi creava perplessità era il fatto di utilizzare la sottosuccessione per ricavare informazioni sulla funzione limite. Adesso mi pare più chiaro ma mi rimane un senso di insoddisfazione.
Voi che ne dite, vi pare corretto?
Risposte
Mi sembra corretto, ma penso si possa ovviare al passaggio per la convergenza puntuale.
Infatti, tu sai che una funzione \(f\in L^2(-1,1)\) è pari se e solo se
\[
f(x) - f(-x) = 0, \qquad a.e.\ x\in (-1,1).
\]
Se hai una successione \(f_n\) di funzioni pari convergenti a \(f\) in \(L^2\), allora la successione \(g_n(x) := f_n(-x)\) converge in \(L^2\) a \(g(x) := f(-x)\). Di conseguenza \(f_n - g_n\) converge in \(L^2\) a \(f-g\). Ma \(f_n - g_n = 0\) a.e., dunque anche \(f-g=0\) a.e.
Infatti, tu sai che una funzione \(f\in L^2(-1,1)\) è pari se e solo se
\[
f(x) - f(-x) = 0, \qquad a.e.\ x\in (-1,1).
\]
Se hai una successione \(f_n\) di funzioni pari convergenti a \(f\) in \(L^2\), allora la successione \(g_n(x) := f_n(-x)\) converge in \(L^2\) a \(g(x) := f(-x)\). Di conseguenza \(f_n - g_n\) converge in \(L^2\) a \(f-g\). Ma \(f_n - g_n = 0\) a.e., dunque anche \(f-g=0\) a.e.
Leggendo il post di Emar ho provato a trovare una funzione che confutasse
\( f_n \to f \ \text{in} \ L^1 \)e$\quad$\( \exists n_k \ : \ f_{n_k} \to g \ \ q.o. \)Allora\( f = g \ q.o. \)
(perchè penso che le riflessioni di Emar siano corrette)
Ma purtroppo non sono riuscito a trovarla, perche le funzioni che so convergere in $L^2$ ma non q.o. soddisfano la tesi.
Chiaramente con alcune ipostesi aggiuntive si potrebbe mostrare che la proposizione sia vera ma posta come è ora penserai di no.
Se qualcuno potesse chiarire questo punto gliene sarei grato.
\( f_n \to f \ \text{in} \ L^1 \)e$\quad$\( \exists n_k \ : \ f_{n_k} \to g \ \ q.o. \)Allora\( f = g \ q.o. \)
(perchè penso che le riflessioni di Emar siano corrette)
Ma purtroppo non sono riuscito a trovarla, perche le funzioni che so convergere in $L^2$ ma non q.o. soddisfano la tesi.
Chiaramente con alcune ipostesi aggiuntive si potrebbe mostrare che la proposizione sia vera ma posta come è ora penserai di no.
Se qualcuno potesse chiarire questo punto gliene sarei grato.
Ti ringrazio Rigel. Il tuo svolgimento mi piace di più dato che non ricorre a sottosuccessioni. In pratica stiamo annullando la "parte dispari" di $f$ a.e.
In effetti un controesempio non è facile da pensare (almeno per me). Qui la classica "typewriter sequence" non mi pare funzioni. Il punto difficile è trovare un'altra sottosuccessione convergente a.e. ad un limite differente...
"Wilde":
Leggendo il post di Emar ho provato a trovare una funzione che confutasse
\( f_n \to f \ \text{in} \ L^1 \)e$\quad$\( \exists n_k \ : \ f_{n_k} \to g \ \ q.o. \)Allora\( f = g \ q.o. \)
In effetti un controesempio non è facile da pensare (almeno per me). Qui la classica "typewriter sequence" non mi pare funzioni. Il punto difficile è trovare un'altra sottosuccessione convergente a.e. ad un limite differente...
"Wilde":
Leggendo il post di Emar ho provato a trovare una funzione che confutasse
\( f_n \to f \ \text{in} \ L^1 \)e$\quad$\( \exists n_k \ : \ f_{n_k} \to g \ \ q.o. \)Allora\( f = g \ q.o. \)
(perchè penso che le riflessioni di Emar siano corrette)
Ma purtroppo non sono riuscito a trovarla, perche le funzioni che so convergere in $L^2$ ma non q.o. soddisfano la tesi.
Chiaramente con alcune ipostesi aggiuntive si potrebbe mostrare che la proposizione sia vera ma posta come è ora penserai di no.
Se qualcuno potesse chiarire questo punto gliene sarei grato.
Ma è vero. È una immediata conseguenza del fatto che se $f_n$ converge in L1 a $f$ e converge q.o. a $g$ allora $f=g$ ovvero il limite è unico.
@Emar: la tua proposizione originale è vera anche se sostituisci la convergenza L1 con la convergenza Lp. Pertanto nella tua dimostrazione, sostanzialmente corretta, puoi saltare quel passaggio.
Sinceramente non vedo come si possa dedurre la proposizione da dimostrare dalla proposizione da te espressa.
Puoi mica essere più chiaro??
Puoi mica essere più chiaro??
Se $f_n$ converge ad $f$ in L1, anche una qualunque sua sottosuccessione converge ad $f$ in L1.
Per ipotesi, esiste una sottosuccessione $f_{n_k}$ convergente q.o. a $g$; ma per quanto detto sopra $f_{n_k}$ converge in L1 a f.
Dunque per unicità del limite della (sotto)successione $f_{n_k}$, $f=g$.
Per ipotesi, esiste una sottosuccessione $f_{n_k}$ convergente q.o. a $g$; ma per quanto detto sopra $f_{n_k}$ converge in L1 a f.
Dunque per unicità del limite della (sotto)successione $f_{n_k}$, $f=g$.
Ok grazie...e scusami per l'insistenza.
"DajeForte":
Se $f_n$ converge ad $f$ in L1, anche una qualunque sua sottosuccessione converge ad $f$ in L1.
Per ipotesi, esiste una sottosuccessione $f_{n_k}$ convergente q.o. a $g$; ma per quanto detto sopra $f_{n_k}$ converge in L1 a f.
Dunque per unicità del limite della (sotto)successione $f_{n_k}$, $f=g$.
Il tuo ragionamento mi sembra filare, grazie mille!
Prego.
@Wilde: nessun problema per l' insistenza. E' meglio levarsi i dubbi piuttosto che tenerli. Comunque a volte sono volutamente criptico perchè sono dell'idea che se uno arriva da solo ad una conclusione (o comunque dovendo produrre un ragionamento "rilevante") ottiene una maggiore comprensione della questione in merito.
@Wilde: nessun problema per l' insistenza. E' meglio levarsi i dubbi piuttosto che tenerli. Comunque a volte sono volutamente criptico perchè sono dell'idea che se uno arriva da solo ad una conclusione (o comunque dovendo produrre un ragionamento "rilevante") ottiene una maggiore comprensione della questione in merito.
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