Convergenza integrali impropri

[gygabyte017]

Ciao a tutti. Sono in difficoltà col metodo per stabilire se un integrale improprio converge o meno.
Ad esempio non riesco a fare questo:

Per quali $alpha in RR$ l'integrale $int_0^(+oo) (pi/2 - arctgx)/(x^(alpha))dx$ converge?

Che metodi vanno usati? In generale come si procede?

Grazie!!

[clrscr]

"gygabyte017":Ciao a tutti. Sono in difficoltà col metodo per stabilire se un integrale improprio converge o meno.
Ad esempio non riesco a fare questo:

Per quali $alpha in RR$ l'integrale $int_0^(+oo) (pi/2 - arctgx)/(x^(alpha))dx$ converge?

Che metodi vanno usati? In generale come si procede?

Grazie!!

Dunque, innanzittutto è lecito spezzare l'integrale in due parti:
$int_0^(+oo) (pi/2)/x^(alpha) dx - int_0^(+oo) (arctgx)/(x^(alpha)dx$ quindi analizzare la convergenza dei due integrali.
Il primo:
prendiamo l'intervallo $[0,beta]$ con $beta>0$ allora $int_0^(beta) (pi/2)/x^a dx$ converge per $alpha<1$.
Prendendo l'ntervallo complementare $[beta,+oo]$ allora $int_(beta)^(+oo) (pi/2)/x^a dx$ converge per $alpha>1$.
A questo punto possiamo già dire che per nessun $alpha>=0$ l'integrale converge.
Osservando i valori di $alpha<0$ si vede immediatamente la non convergenza dell'integrale.
Correggetemi se sbaglio....Grazie!!!!
Perciò per nessun $alpha$ l'integrale converge...

[gygabyte017]

Bene! Io ho utilizzato il criterio del confronto asintotico in $0^+$ e $+oo$ quando serviva, e sono giunto al tuo stesso risultato...

Ho una domanda generale però:
Sia $h(x) = f(x) + g(x)$.
Allora è corretto affermare che, $AA a,b in RR$ (anche infiniti):
1) $int_a^b h(x)dx$ converge $iff$ $int_a^b f(x)dx$ converge e $int_a^b g(x)dx$ converge (e viceversa)???
2) per $c in RR \quad : \quad a<=c<=b$, $int_a^b f(x)dx$ converge $iff$ $int_a^c f(x)dx$ converge e $int_c^b f(x)dx$ converge (e viceversa) ???

Grazie!!

[clrscr]

Si si...le ultime affermazioni mi sembrano corrette....CIAO!!!