Convergenza integrali impropri

[enrico___1]

Discutere la convergenza dei seguenti integrali impropri

[math]
\int_0^3 \frac{1-\cos x}{x^2 \sin \sqrt{x}} dx
[/math]

e converge.
Quest'altro integrale non dovrebbe convergere ugualmente? Nelle soluzioni c'è scritto che diverge

[math]
\int_0^{12} \frac{1-\cos x}{x^2 \sin \sqrt{x}} dx
[/math]

Per il primo integrale ho utilizzato il criterio asintotico. Come ordine ho ottenuto

[math]\frac{1}{2}[/math]

che è minore di 1 e ho concluso che converge.

[ciampax]

Abbiamo

[math]1-\cos x\sim\frac{x^2}{2},\qquad \sin\sqrt{x}\sim x^{1/2}[/math]

per cui entrambi hanno

[math]f(x)\sim\frac{x^2/2}{x^2 x^{1/2}}\sim\frac{1}{2\x^{1/2}}[/math]

Ora però, ti sei dimenticato di vedere dove si annulla il denominatore! :) Infatti

[math]\sin\sqrt{x}=0\ \Rightarrow\ \sqrt{x}=k\pi\ \Rightarrow\ x=k^2\pi^2[/math]

con

[math]k\in\mathbb{Z}[/math]

. Per [math]k=1,\ k^2\pi^2=\pi^2