Convergenza integrali
non riesco a stabilire la convergenza degli integrali.. come devo ragionare? so che posso confrontare con $\int_0^1 1/x^(\alpha)dx$ e con $\int_0^oo 1/x^(\alpha)dx$, ma non mi riesce. ad esempio sui seguenti integrali, per stabilire quale converge:
$\int_0^1 1/logx dx$ $\int_-oo^0 e^x/x^2 dx$ $\int_0^2 1/(e^x-e) dx$
qualcuno potrebbe darmi una mano?
$\int_0^1 1/logx dx$ $\int_-oo^0 e^x/x^2 dx$ $\int_0^2 1/(e^x-e) dx$
qualcuno potrebbe darmi una mano?
Risposte
Il gioco si svolge tutto intorno agli ordini di infinito/infinitesimo.
Prendiamo ad esempio il primo integrale: la funzione \(\frac 1 {\ln x}\) ha un asintoto verticale in \(x = 1\). La domanda [che porta quindi spontaneamente al confronto con le funzioni \(\frac 1 {x^\alpha}\)] è "qual è l'ordine di infinito della funzione?".
Ora, tu sai che \(\ln(1 + x) \sim x + o(x)\) quando \(x \to 0\): da questo dovresti essere in grado di trovare la risposta.
Prendiamo ad esempio il primo integrale: la funzione \(\frac 1 {\ln x}\) ha un asintoto verticale in \(x = 1\). La domanda [che porta quindi spontaneamente al confronto con le funzioni \(\frac 1 {x^\alpha}\)] è "qual è l'ordine di infinito della funzione?".
Ora, tu sai che \(\ln(1 + x) \sim x + o(x)\) quando \(x \to 0\): da questo dovresti essere in grado di trovare la risposta.
"Raptorista":
Il gioco si svolge tutto intorno agli ordini di infinito/infinitesimo.
Prendiamo ad esempio il primo integrale: la funzione \(\frac 1 {\ln x}\) ha un asintoto verticale in \(x = 1\). La domanda [che porta quindi spontaneamente al confronto con le funzioni \(\frac 1 {x^\alpha}\)] è "qual è l'ordine di infinito della funzione?".
Ora, tu sai che \(\ln(1 + x) \sim x + o(x)\) quando \(x \to 0\): da questo dovresti essere in grado di trovare la risposta.
no, in realtà non mi è chiaro. io so che \(\ln(1 + x) \sim x + o(x)\) quando \(x \to 0\), ma il problema per cui studio la convergenza è in un intorno di uno, non di zero: giusto? potresti essere più chiaro e più esplicito sul tuo messaggio?
Se stai guardando \(\ln x\) quando \(x \to 1\) è come se stessi guardando il \(\ln (x_0 + y)\) con \(x_0 = 1\) e \(y \to 0\).
Lo sviluppo asintotico \(\ln(1 + x) \sim x + o(x)\) vale quando \(x \to 0\), ma non perché \(0\) è un numero più bello degli altri, piuttosto perché è l'argomento del logaritmo che tende a \(1\).
Questo caso è analogo, c'è solo di mezzo un cambio di variabile.
Lo sviluppo asintotico \(\ln(1 + x) \sim x + o(x)\) vale quando \(x \to 0\), ma non perché \(0\) è un numero più bello degli altri, piuttosto perché è l'argomento del logaritmo che tende a \(1\).
Questo caso è analogo, c'è solo di mezzo un cambio di variabile.
"Raptorista":
Se stai guardando \(\ln x\) quando \(x \to 1\) è come se stessi guardando il \(\ln (x_0 + y)\) con \(x_0 = 1\) e \(y \to 0\).
Lo sviluppo asintotico \(\ln(1 + x) \sim x + o(x)\) vale quando \(x \to 0\), ma non perché \(0\) è un numero più bello degli altri, piuttosto perché è l'argomento del logaritmo che tende a \(1\).
Questo caso è analogo, c'è solo di mezzo un cambio di variabile.
dunque potrei pensare $(1/logx)\sim(1/x)$ per $x->1$, e pertanto confrontando, poichè $(1/x)<(1/logx)$, allora $1/logx$ diverge in quanto diverge $1/x$ su $(0,1]$ che è minore. giusto? e per il secondo, ad esempio, dovrei cambiare variabile e sviluppare $e^x$?
Non è proprio questo il modo di fare il confronto, però ci siamo quasi.
Quando \(x \to 1\), \(\frac{1}{\ln x} \sim \frac{1}{x-1}\), ma non puoi scrivere una disequazione come l'ultima che hai scritto.
Inoltre, \(\frac{1}{\ln x}\) non è integrabile in \(x = 1\) perché \(\frac{1}{x-1}\) non è integrabile in \(x = 1\), NON perché \(\frac 1 x\) non è integrabile in \(x = 0\).
È una differenza sottile, ma non trascurabile!
Quando \(x \to 1\), \(\frac{1}{\ln x} \sim \frac{1}{x-1}\), ma non puoi scrivere una disequazione come l'ultima che hai scritto.
Inoltre, \(\frac{1}{\ln x}\) non è integrabile in \(x = 1\) perché \(\frac{1}{x-1}\) non è integrabile in \(x = 1\), NON perché \(\frac 1 x\) non è integrabile in \(x = 0\).
È una differenza sottile, ma non trascurabile!
"Raptorista":
Non è proprio questo il modo di fare il confronto, però ci siamo quasi.
Quando \(x \to 1\), \(\frac{1}{\ln x} \sim \frac{1}{x-1}\), ma non puoi scrivere una disequazione come l'ultima che hai scritto.
Inoltre, \(\frac{1}{\ln x}\) non è integrabile in \(x = 1\) perché \(\frac{1}{x-1}\) non è integrabile in \(x = 1\), NON perché \(\frac 1 x\) non è integrabile in \(x = 0\).
È una differenza sottile, ma non trascurabile!
scusami tanto, non vorrei sembrarti un cretino, ma voglio avere le idee chiare. per fare il confronto non devo impostare una disequazione? o forse dovrei scrivere $1/(x-1)>1/logx>0$? potresti darmi un indicazione anche sul secondo? infine, un ultimo dubbio: anche per gli integrali, come per le serie, è necessario che la funzione tenda a zero in un determinato intorno, come 1 nel nostro caso?
Allora, non puoi scrivere la disequazione a meno di motivarla rigorosamente: chi ti dice che quella relazione è vera?
Quella affermazione, comunque, è ininfluente ai fini del risultato: dire che le due funzioni sono asintotiche significa dire che approssimando una con l'altra compio un errore che tende a zero con ordine maggiore di \(1\); che questo errore sia positivo o negativo poco importa, ciò che conta è che l'approssimazione al primo ordine, che in questo caso è \(\ln x = x - 1\), la faccia da padrona, perché a questo punto è lei che decide le sorti del gioco.
Per quanto riguarda gli integrali, se l'integrazione è impropria perché l'intervallo è illimitato, allora per convergere è necessario che la funzione sia infinitesima; se invece integri su un asintoto, ovviamente non è necessario.
Quella affermazione, comunque, è ininfluente ai fini del risultato: dire che le due funzioni sono asintotiche significa dire che approssimando una con l'altra compio un errore che tende a zero con ordine maggiore di \(1\); che questo errore sia positivo o negativo poco importa, ciò che conta è che l'approssimazione al primo ordine, che in questo caso è \(\ln x = x - 1\), la faccia da padrona, perché a questo punto è lei che decide le sorti del gioco.
Per quanto riguarda gli integrali, se l'integrazione è impropria perché l'intervallo è illimitato, allora per convergere è necessario che la funzione sia infinitesima; se invece integri su un asintoto, ovviamente non è necessario.
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