Convergenza integrali

[itisscience]

online ho trovato un esercizio che chiede di studiare la convergenza di $ int_(-1)^(+1) 1/((√|x|)(x-4)) dx $
quindi lo spezza in $ int_(-1)^(0) 1/((√-x)(x-4)) dx + int_(0)^(1) 1/((√x)(x-4)) dx $ e ora il passaggio che non riesco a capire: dice che i due integrali convergono perchè, per $ x->0 $ , $ 1/((√|x|)(x-4)) $ ~ $ (-1)/(4√|x|) $

[Mephlip]

Ciao! Non ti è chiara la stima asintotica o come deduce la convergenza nella conclusione? In ogni caso, calcola il limite per $x \to 0$ del rapporto tra $\frac{1}{\sqrt{|x|}(x-4)}$ e $-\frac{1}{4\sqrt{|x|}}$ per verificare la stima asintotica, poi calcola esplicitamente (anche se avresti già dovuto vederli nella teoria generale) gli integrali
$$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{|x|}} \text{d}x$$
$$\int_{-1}^0 \frac{1}{\sqrt{|x|}} \text{d}x$$

[itisscience]

dalla teoria degli integrali ricordo che un integrale del tipo $ int_(0)^(1) 1/x^alpha dx $ converge per $ 0

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[Mephlip]

Per i valori assoluti, nel primo integrale è $0< x \leq 1$ e nel secondo è $-1 \leq x <0$.
Sì, infatti è $\alpha=1/2$ perché $\sqrt|x|=|x|^{1/2}$.

[itisscience]

quindi in realtà il valore assoluto non dava nessun problema perchè posso "lasciarlo" così com'è.. grazie davvero

[Mephlip]

No, non c'è il valore assoluto in $\int_0^1 \frac{1}{x^{\alpha}} \text{d}x$: però, dato che per $x \geq 0$ è $|x|=x$ e per $x<0$ è $|x|=-x$, nel primo hai immediatamente il confronto mentre nel secondo basta porre $t=-x$.

[itisscience]

chiaro, grazie!