Convergenza integrale improprio...ma è possibile?

[smaug1]

Sia $a \in \mathbb{R}$ dire per quali valori l'integrale converge:

$\int_1^oo \frac{e^{ax} + x}{x^{2a +3}}$

In $1$ non ci sono problemi. Ciò che dobbiamo andare a vedere è la $f(x)$ per $x->oo$ come si comporta.

$1.$ Se $a>0$ possiamo dire che $x = o (e^{ax}) ?$ quindi $f(x) \sim e^{ax} / x^{2a +3} \sim a (x / x^{2a+3}) \sim a (1 / x^{2a + 2})$ e converge solo per $a > 1/2$

$2.$ Se $a= 0$ $f(x) \sim 1 / x^2 $sempre convergente

$3.$ Se $a < 0$ con $a= -b$ allora $f(x) \sim ((1/e^{bx}) + x) / x^{-2b +3}$ e converge per $a< 1/2$

Unendo ciò che ho trovato dovrebbe convergere per $-1/2
Tuttavia la soluzione corretta è $-1/2
Grazie

[StefanoMDj]

prova a rivedere il primo caso perchè a me sembra proprio che per $a>0$ diverga!

dato che $e^(ax)$ con $a>0$ ha infinito di ordine maggiore rispetto a $x^(2a+3)$ per $x->oo$

[theras]

Ciao!
Direi che hai sbagliato le stime asintotiche
(forse ti sarebbe utile analizzare più a fondo le ragioni di quel meccanismo,per evitare errori del genere in futuro..),
e poi hai fatto un bel pò di confusione tra parametro e variabile d'integrazione
(coltivo il dubbio,ma vorrei sbagliarmi,che il problema sia concettuale,
per via del "sempre" da te scritto in quel caso specifico a=0 cui,al di fuori di quell'errore che spero "solo" semantico,
hai dato risposta corretta!):
comunque vorrei farti notar solo che,per a>0,il limite del rapporto tra la tua funzione integranda ed $1/x$ è sempre $+oo$,
o per meglio dire lo è per ogni a positivo..
Saluti dal web

[smaug1]

Grazie ragazzi ho capito perchè ho sbagliato il primo caso, nel secondo ovvio converge solo se $a=0$ e non "sempre", mentre il terzo ed ultimo caso converge solo per $a> -1/2$ ma fino a $0$ compreso perchè di lì in poi è divergente...ragionando così arrivo anchd al rsultato indicato: $-1/2
Ragazzi siete favolosi! Grazie

[StefanoMDj]

prego