Convergenza integrale improprio trigonometrico
Salve vorrei un parere sul seguente esercizio.
dire se esiste finito il seguente integrale:
$int_(pi/2)^pi [xlog(1+x-pi/2) cosx]/[(x-pi/2)^(3/2)] dx$
il problema sta senz'altro in $x=pi/2$ perchè si annulla sia il numeratore che il denominatore...
in questo caso al numeratore per fare una stima asintotica prendiamo in esame la funzione coseno che tende più velocemente a zero rispetto a log ?
se è possibile fare così, il numeratore o per meglio dire cosx asintoticamente si comporta come $y= (pi/2-x)$ e semplificando arriveremo ad un integrale del tipo $ 1/(x-x_0)^alpha$ con $alpha<1$ e quindi convergente.
....
dire se esiste finito il seguente integrale:
$int_(pi/2)^pi [xlog(1+x-pi/2) cosx]/[(x-pi/2)^(3/2)] dx$
il problema sta senz'altro in $x=pi/2$ perchè si annulla sia il numeratore che il denominatore...
in questo caso al numeratore per fare una stima asintotica prendiamo in esame la funzione coseno che tende più velocemente a zero rispetto a log ?
se è possibile fare così, il numeratore o per meglio dire cosx asintoticamente si comporta come $y= (pi/2-x)$ e semplificando arriveremo ad un integrale del tipo $ 1/(x-x_0)^alpha$ con $alpha<1$ e quindi convergente.
....
Risposte
Se poni $x-\pi/2=t$ allora dovrai controllare cosa accade in $t=0$ alla funzione
[tex]$\frac{(t+\pi/2)\log(1+t)\cos(t+\pi/2)}{t^{3/2}}=-\frac{(t+\pi/2)\log(1+t)\sin t}{t^{3/2}}\sim -\pi/2\cdot\frac{t\cdot t}{t^{3/2}}=-\frac{\pi t^{1/2}}{2}$[/tex]
da cui concludi che l'integrale converge.
[tex]$\frac{(t+\pi/2)\log(1+t)\cos(t+\pi/2)}{t^{3/2}}=-\frac{(t+\pi/2)\log(1+t)\sin t}{t^{3/2}}\sim -\pi/2\cdot\frac{t\cdot t}{t^{3/2}}=-\frac{\pi t^{1/2}}{2}$[/tex]
da cui concludi che l'integrale converge.
"ciampax":
Se poni $x-\pi/2=t$ allora dovrai controllare cosa accade in $t=0$ alla funzione
[tex]$\frac{(t+\pi/2)\log(1+t)\cos(t+\pi/2)}{t^{3/2}}=-\frac{(t+\pi/2)\log(1+t)\sin t}{t^{3/2}}\sim -\pi/2\cdot\frac{t\cdot t}{t^{3/2}}=-\frac{\pi t^{1/2}}{2}$[/tex]
da cui concludi che l'integrale converge.
grazie della risposta.
ho capito la sostituzione
[tex]-\frac{(t+\pi/2)\log(1+t)\sin t}{t^{3/2}}[/tex] <--- ma Come ci si arriva a queta forma ?
grazie
Usando le regole per gli archi associati: $\cos(\alpha+\pi/2)=-\sin\alpha$.
"ciampax":
Usando le regole per gli archi associati: $\cos(\alpha+\pi/2)=-\sin\alpha$.
grazie mille per i chiarimenti;
perdonami la domanda sciocca:
alla fine prima di concludere stimi l'integrale con la seguente funzione , ma come ci si arriva
a [tex]\sim[/tex] $-pi/2 * (t*t)/t^(3/2)$ <--- ?
cioè per t che tende a zero capisco l'approssimazione di $-(t+pi/2)$ con $- pi/2$ ma $t*t$ da dove spunta ?
Vengono fuori da [tex]$\log(1+t)\sim t$[/tex] e [tex]$\sin t\sim t$[/tex] (i limiti notevoli benedetti e santi!)
"ciampax":
Vengono fuori da [tex]$\log(1+t)\sim t$[/tex] e [tex]$\sin t\sim t$[/tex] (i limiti notevoli benedetti e santi!)
ma
$lim_(t to 0) (log(1+t))/t$ non fa $t$ ma bensì $1$ .... e poi in questo caso abbiamo $ t^(3/2)$
Mai sentito parlare di confronto locale e di ordine di infinitesimo? Se [tex]$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$[/tex] allora
[tex]$f(x)\sim g(x)$[/tex]. E se noti io non ho scritto [tex]$\frac{\log(1+t)}{t}\sim t$[/tex]!!! Accendere il cervello prima di parlare sarebbe cosa gradita. E andarsi a studiare i confronti locali ancora di più!
Ripeto: i limiti notevoli benedetti e santi e le loro conseguenze (aggiungo)!!!!
[tex]$f(x)\sim g(x)$[/tex]. E se noti io non ho scritto [tex]$\frac{\log(1+t)}{t}\sim t$[/tex]!!! Accendere il cervello prima di parlare sarebbe cosa gradita. E andarsi a studiare i confronti locali ancora di più!
Ripeto: i limiti notevoli benedetti e santi e le loro conseguenze (aggiungo)!!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo