Convergenza integrale improprio, esercizio
Salve, avrei una domanda su questo esercizio, quindi su questa tipologia.
L'integrale è: (x^2)/[(sqrt(x+1))((x+2)^2)] (scusate, è che ancora non ho imparato il LaTex)
mi chiede se è convergente in (0,+oo)
Allora io ho visto che per x-->0, la funzione converge in questo intorno a 0 e per x-->+oo, di nuovo, converge a zero.
(tutto asintoticamente)
Da qui concludo che l'integrale improprio converge.
Ora, fare in questo modo, con questi esercizi, è esatto? La prof. è un po' strana, per non dire altro, e quindi non vorrei incorrere in alcun errore.
L'integrale è: (x^2)/[(sqrt(x+1))((x+2)^2)] (scusate, è che ancora non ho imparato il LaTex)
mi chiede se è convergente in (0,+oo)
Allora io ho visto che per x-->0, la funzione converge in questo intorno a 0 e per x-->+oo, di nuovo, converge a zero.
(tutto asintoticamente)
Da qui concludo che l'integrale improprio converge.
Ora, fare in questo modo, con questi esercizi, è esatto? La prof. è un po' strana, per non dire altro, e quindi non vorrei incorrere in alcun errore.
Risposte
Quindi, se ho capito bene, bisogna studiare la convergenza di
$$\int_0^{+\infty}\frac{x^2}{\sqrt{x+1}\cdot(x+2)^2}\ dx$$
Il fatto che la funzione sia infinitesima non è sufficiente (quindi ciò che hai fatto vale solo a metà). Quello che bisogna fare è vedere come si comporta, asintoticamente, la funzione integranda vicino ai punti "problematici". I risultati che si usano sono i seguenti
1) dato $\int_{x_0}^a f(x)\ dx$ con $x_0$ punto di discontinuità per $f$, l'integrale converge se e solo se la funzione è asintotica a $1/{(x-x_0)^\alpha}$ con $\alpha<1$
2) dato $\int_a^{+\infty} f(x)\ dx$, l'integrale converge se e solo se la funzione è asintotica a $1/x^\alpha$ con $\alpha>1$
Riesci a procedere?
$$\int_0^{+\infty}\frac{x^2}{\sqrt{x+1}\cdot(x+2)^2}\ dx$$
Il fatto che la funzione sia infinitesima non è sufficiente (quindi ciò che hai fatto vale solo a metà). Quello che bisogna fare è vedere come si comporta, asintoticamente, la funzione integranda vicino ai punti "problematici". I risultati che si usano sono i seguenti
1) dato $\int_{x_0}^a f(x)\ dx$ con $x_0$ punto di discontinuità per $f$, l'integrale converge se e solo se la funzione è asintotica a $1/{(x-x_0)^\alpha}$ con $\alpha<1$
2) dato $\int_a^{+\infty} f(x)\ dx$, l'integrale converge se e solo se la funzione è asintotica a $1/x^\alpha$ con $\alpha>1$
Riesci a procedere?
no, aspetta. mi sono perso xD
Sai cos'è il confronto asintotico?
devi vedere qual è l'ordine di infinitesimo dell'integrando per $x rarr +infty$
sìsì, certo. è che messo su questo piano non li ho mai affrontati.
allora, fondamentalmente abbiamo spezzato l'integrale nei due intervalli.
nell'intervallo (a,+oo) la funzione è asintoticamente uguale a 1/(sqrtx), che non converge. ora, dato che non converge in questo intervallo, la funzione stessa non converge su (0,+oo), no? questo in relazione al teorema che prevede di spezzare l'intervallo là dove è possibile e valutare separatamente le cose, giusto?
allora, fondamentalmente abbiamo spezzato l'integrale nei due intervalli.
nell'intervallo (a,+oo) la funzione è asintoticamente uguale a 1/(sqrtx), che non converge. ora, dato che non converge in questo intervallo, la funzione stessa non converge su (0,+oo), no? questo in relazione al teorema che prevede di spezzare l'intervallo là dove è possibile e valutare separatamente le cose, giusto?
Esatto.
grazie mille!
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