Convergenza Integrale improprio di seconda specie
Ciao a tutti!!!
Data la mancanza di soluzione nel mio esercizio, vorrei chiedervi se potete confermarmi o meno la correttezza della mia soluzione e ragionamento.
L'esercizio è il seguente:
Discutere la convergenza del seguente integrale:
$int_( 0)^(pi/2) (1)/(|sin x-cos x| ) dx$
Ho posto l'integrale uguale a:
$lim_( \epsilon -> 0^+) \int_{\epsilon }^{\pi /2} \frac{1}{\ |sinx - cosx|} \ dx $ =
= $\lim_{\varepsilon ->0^+ } ln(|sinx-cosx|)^{\pi /2} _{\varepsilon } $ = 0
quindi tale integrale converge a 0
Grazie in anticipo!
Data la mancanza di soluzione nel mio esercizio, vorrei chiedervi se potete confermarmi o meno la correttezza della mia soluzione e ragionamento.
L'esercizio è il seguente:
Discutere la convergenza del seguente integrale:
$int_( 0)^(pi/2) (1)/(|sin x-cos x| ) dx$
Ho posto l'integrale uguale a:
$lim_( \epsilon -> 0^+) \int_{\epsilon }^{\pi /2} \frac{1}{\ |sinx - cosx|} \ dx $ =
= $\lim_{\varepsilon ->0^+ } ln(|sinx-cosx|)^{\pi /2} _{\varepsilon } $ = 0
quindi tale integrale converge a 0
Grazie in anticipo!
Risposte
Allora, così ad occhio se devi discutere la convergenza non c'è bisogno di calcolarlo (mi spieghi come hai fatto a risolverlo? 
perchè non puoi farlo diventare un logaritmo, è un errore abbastanza grave)...comunque, come dicevo, se devi discutere la convergenza devi guardare l'integrale dove è definito e vedere se ci sono problemi per qualche valore di $x$...sicuramente non ce ne sono in $0$ e $pi/2$....dunque...devi scoprire per quali valori tra $0$ e $pi/2$ la funzione integranda "scoppia"...per esempio, cosa succede se $x=pi/4$?
perchè non puoi farlo diventare un logaritmo, è un errore abbastanza grave)...comunque, come dicevo, se devi discutere la convergenza devi guardare l'integrale dove è definito e vedere se ci sono problemi per qualche valore di $x$...sicuramente non ce ne sono in $0$ e $pi/2$....dunque...devi scoprire per quali valori tra $0$ e $pi/2$ la funzione integranda "scoppia"...per esempio, cosa succede se $x=pi/4$?
mmh...è pressoché uguale a 1..no?
ps. scusami tanto...metto le mani avanti col dire, come si sarà già visto, che ho difficoltà nel calcolare le primitive... ma come si risolverebbe allora $1/|(sinx-cosx)|$ sotto integrale?
ps. scusami tanto...metto le mani avanti col dire, come si sarà già visto, che ho difficoltà nel calcolare le primitive... ma come si risolverebbe allora $1/|(sinx-cosx)|$ sotto integrale?
bhè...quella primitiva di credo che è difficile da trovare Ma a quanto ho capito l'esercizio ti chiede di studiare la convergenza...e quello che devi fare è applicare le regole degli integrali impropri e cercare di capire come funziona quella funzione integranda tra $0$ e $pi/2$...comunque per $x=pi/4$ che è un valore in cui la funzione è definita ha qualche problema 
...prova a controllare meglio...la conosci la trigonometria no?
Ma a quanto ho capito l'esercizio ti chiede di studiare la convergenza...e quello che devi fare è applicare le regole degli integrali impropri e cercare di capire come funziona quella funzione integranda tra $0$ e $pi/2$...comunque per $x=pi/4$ che è un valore in cui la funzione è definita ha qualche problema ...prova a controllare meglio...la conosci la trigonometria no?
giusto... coincidono e abbiamo forma indeterminata della funzione!
dunque...cosa concluderesti?
Scusami tanto, ma purtroppo il lavoro chiamava!!
Allora...concluderei che per $x=π/4$ dobbiamo studiare la convergenza del nostro integrale con il criterio asintotico. Ma purtroppo non riesco ad andare avanti nel trovare una funzione che mi approssima la mia, nell'intorno di $π/4$..
Allora...concluderei che per $x=π/4$ dobbiamo studiare la convergenza del nostro integrale con il criterio asintotico. Ma purtroppo non riesco ad andare avanti nel trovare una funzione che mi approssima la mia, nell'intorno di $π/4$..
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