Convergenza integrale improprio con parametro reale

[boske]

$ \int_0^\infty1/x^(3a)arcsin (1/(x^5+1)^(1/4))dx $
Credo di averlo risolto procedendo così:
$ 1/x^(3a)arcsin [(x^5+1)^(-1/4)] ~ pi /(2x^(3a)),xrarr 0 $
Quindi $ \int_0 $ converge per $ a<1/3 $
e siccome $ (x^5+1)^(-1/4)~ x^(-5/4),xrarr\infty $ e
$ arcsin (1/x^(5/4))~ 1/x^(5/4),xrarr\infty $
$ \int^\infty1/x^(3a+5/4)dx $ converge per $ 3a+5/4>1hArr a> -1/12 $ e quindi anche l'integrale di partenza

E' giusto il mio procedimento? Sono insicuro rispetto al risultato che ho ottenuto per $ \int^\infty $

[Noisemaker]

Osservato che la funzione integranda risulta definita per $x>0$ se $a>0$ e per $x\ge 0$ se $a<0$ e che in $(0;+\infty)$ riuslta sempre positiva, applicando il confronto asintotico hai che:
se $x\to0$
\begin{align}
\frac{1}{x^{3a}}\arcsin \left(\frac{1}{(x^5+1)^{1/4}}\right) \sim\frac{\pi}{2x^{3a}}\to\mbox{converge se }\quad a<1/3;
\end{align}
se $x\to+\infty$
\begin{align}
\frac{1}{x^{3a}}\arcsin \left(\frac{1}{(x^5+1)^{1/4}}\right) \sim\frac{1}{x^{3a}}\arcsin \left(\frac{1}{ x^{5/4} }\right)\sim\frac{1}{x^{3a+5/4}} \to\mbox{converge se }\quad a>-1/12;
\end{align}
si conclude che l'integrale converge per $-1/12

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[boske]

È vero, mi sono dimenticato di discutere le condizioni di esistenza della funzione al variare di a, per il resto tutto ok grazie