Convergenza integrale improprio con parametro

[irelimax]

Salve a tutti, ho qualche dubbio sullo svolgimento del seguente integrale..
$int_{0}^{+infty} \frac{x |\alpha - 1|^x}{|x+\alpha|^{1/2}} dx$ Devo trovare i valori di $\alpha$ per i quali l'integrale converge.
Ho distinto tre casi:
$\alpha = 0$ , $f_0 (x) = \sqrt(x)$. Adesso è giusto osservare che per $x \rightarrow 0$ l'integrale converge, per $x \rightarrow +infty$ diverge?

$\alpha > 0$, per $x \rightarrow +infty$ l'integrale converge per $|\alpha -1| < 1$ cioè per $\0
$\alpha < 0$, per $x \rightarrow -alpha$ allora $f_{\alpha}(x) \sim \frac{-\alpha |\alpha -1|^{-alpha}}{|x+ alpha|^{1/2}}> \frac{1}{|x + \alpha|^{1/2}} $ e poichè $1/2 < 1$ l'integrale converge. Cosa posso dire per $x \rightarrow +infty$?

In definitiva quindi per quali valori di $\alpha$ l'integrale è finito?
grazie mille

[Quinzio]

"irelimax":Salve a tutti, ho qualche dubbio sullo svolgimento del seguente integrale..
$int_{0}^{+infty} \frac{x |\alpha - 1|^x}{|x+\alpha|^{1/2}} dx$ Devo trovare i valori di $\alpha$ per i quali l'integrale converge.
Ho distinto tre casi:
$\alpha = 0$ , $f_0 (x) = \sqrt(x)$. Adesso è giusto osservare che per $x \rightarrow 0$ l'integrale converge, per $x \rightarrow +infty$ diverge?

Certo che diverge. Puoi anche calcolare esplicitamente l'integrale che risulta $2/3x^(3/2)$ e vedi che per $x-> +oo$ diverge.

$\alpha > 0$, per $x \rightarrow +infty$ l'integrale converge per $|\alpha -1| < 1$ cioè per $\0

No perchè ? $x$ deve solo "spazzolare" tra zero e +inf, che sono gli estremi. Delle $x$ negative non te ne importa.

$\alpha < 0$, per $x \rightarrow -alpha$ allora $f_{\alpha}(x) \sim \frac{-\alpha |\alpha -1|^{-alpha}}{|x+ alpha|^{1/2}}> \frac{1}{|x + \alpha|^{1/2}} $ e poichè $1/2 < 1$ l'integrale converge. Cosa posso dire per $x \rightarrow +infty$?

A $+oo$ succede che $|\alpha-1|^x$ va all'infinito ed è molto "veloce", è un esponenziale. Quindi puoi anche concludere subito che diverge.

In definitiva quindi per quali valori di $\alpha$ l'integrale è finito?

L'unico intervallo che fa convergere l'integrale direi che sia $\alpha\in(0,2)$, sei d'accordo ?

grazie mille

[irelimax]

grazie, mi hai fatto riflettere su un paio di cose!