Convergenza integrale improprio con exp(x^2)
Buonasera a tutti, mi propongono di studiare la convergenza del seguente integrale improprio di prima specie.
$ int_(1)^(+oo) (e^(x^2)/(1+e^(2x^2)) $ dx
Vedo che la funzione è definita, continua e positiva in tutto $ [1;+oo) $ perciò è localmente integrabile.
Siccome so che l'integrale $ int_(0)^(+oo) e^(-x^2) dx $ converge, allora, tramite confronto asintotico studio la convergenza del mio integrale.
$ lim_(x -> +oo) (e^(x^2)/(1+e^(2x^2)))/e^(-x^2) = 1 $
Quindi anche l'integrale di partenza converge.
Secondo voi è giusto come procedimento?
$ int_(1)^(+oo) (e^(x^2)/(1+e^(2x^2)) $ dx
Vedo che la funzione è definita, continua e positiva in tutto $ [1;+oo) $ perciò è localmente integrabile.
Siccome so che l'integrale $ int_(0)^(+oo) e^(-x^2) dx $ converge, allora, tramite confronto asintotico studio la convergenza del mio integrale.
$ lim_(x -> +oo) (e^(x^2)/(1+e^(2x^2)))/e^(-x^2) = 1 $
Quindi anche l'integrale di partenza converge.
Secondo voi è giusto come procedimento?
Risposte
L'integrale converge perché
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\exp \left( {{x^2}} \right)}}{{1 + \exp \left( {2{x^2}} \right)}} \sim \frac{{\exp \left( {{x^2}} \right)}}{{\exp \left( {2{x^2}} \right)}} = \exp \left( { - {x^2}} \right) = 0{\text{ di ordine }} > 1\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\exp \left( {{x^2}} \right)}}{{1 + \exp \left( {2{x^2}} \right)}} \sim \frac{{\exp \left( {{x^2}} \right)}}{{\exp \left( {2{x^2}} \right)}} = \exp \left( { - {x^2}} \right) = 0{\text{ di ordine }} > 1\]
"Brancaleone":
L'integrale converge perché
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\exp \left( {{x^2}} \right)}}{{1 + \exp \left( {2{x^2}} \right)}} \sim \frac{{\exp \left( {{x^2}} \right)}}{{\exp \left( {2{x^2}} \right)}} = \exp \left( { - {x^2}} \right) = 0{\text{ di ordine }} > 1\]
Ok, grazie mille!!
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