Convergenza integrale improprio con due parametri
Ciao a tutti, qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi a risolvere questo problema?
Per quali valori di a e b appartenenti ad R converge l’integrale:
Io ho sostituito (1-x)=t ottenendo:
Ho portato (1-t)^a al denominatore e ottenuto che per a=0 e b≠0 l’integrale converge, in un intorno di 0 e 1, se b<1; per b=0 e a≠0,in un intorno di 0 e 1, l’integrale converge se a>-1; se a=0 e b=0 l’integrale converge solo in un intorno di 0.
Non sono sicura di aver seguito il procedimento giusto, ringrazio anticipatamente chi risponderà
Per quali valori di a e b appartenenti ad R converge l’integrale:
Io ho sostituito (1-x)=t ottenendo:
Ho portato (1-t)^a al denominatore e ottenuto che per a=0 e b≠0 l’integrale converge, in un intorno di 0 e 1, se b<1; per b=0 e a≠0,in un intorno di 0 e 1, l’integrale converge se a>-1; se a=0 e b=0 l’integrale converge solo in un intorno di 0.
Non sono sicura di aver seguito il procedimento giusto, ringrazio anticipatamente chi risponderà
Risposte
Ciao Itsgres95,
Benvenuta sul forum!
Innanzitutto osserverei che ponendo $t := 1 - x \implies dt = - dx \implies dx = - dt $ nell'integrale proposto
$\int_0^1 x^a/((1 - x)^b log(1 - x)) dx $
si ha:
$\int_0^1 x^a/((1 - x)^b log(1-x)) dx = \int_1^0 (1 - t)^a/(t^b log t)(- dt) = \int_0^1 (1 - t)^a/(t^b log t) dt $
Te lo scrivo così magari puoi sostituire le immagini del tuo post con le formule corrette che si scrivono come riportato nel box rosa in alto a sinistra oppure qui.
Potrei sbagliarmi, ma direi che se $a = 0 $ l'integrale converge se $b < 1 $ per confronto con integrale improprio notevole;
per $ b = 0 $ l'integrale converge se $- a < 1 \implies a > - 1 $; per $a = 0 $ e $b = 0 $ l'integrale proposto non converge.
Benvenuta sul forum!
Innanzitutto osserverei che ponendo $t := 1 - x \implies dt = - dx \implies dx = - dt $ nell'integrale proposto
$\int_0^1 x^a/((1 - x)^b log(1 - x)) dx $
si ha:
$\int_0^1 x^a/((1 - x)^b log(1-x)) dx = \int_1^0 (1 - t)^a/(t^b log t)(- dt) = \int_0^1 (1 - t)^a/(t^b log t) dt $
Te lo scrivo così magari puoi sostituire le immagini del tuo post con le formule corrette che si scrivono come riportato nel box rosa in alto a sinistra oppure qui.
Potrei sbagliarmi, ma direi che se $a = 0 $ l'integrale converge se $b < 1 $ per confronto con integrale improprio notevole;
per $ b = 0 $ l'integrale converge se $- a < 1 \implies a > - 1 $; per $a = 0 $ e $b = 0 $ l'integrale proposto non converge.
Ciao, grazie per la risposta! Provo a scrivere le formule come si deve!
Per l'integrale in $ (dt) $ in effetti avrei dovuto cambiare gli estremi mettendo il $-$ davanti e quindi viene come hai scritto tu, per il resto allora va bene come ho risolto io, a parte il caso in cui $ a=0 $, $ b=0 $. Non capisco perchè non converge..
Otterrei:
$ \int_0^1 1/(logt)dt $ che studiato in un intorno di $ 0^+ $ dovrebbe convergere..
Per l'integrale in $ (dt) $ in effetti avrei dovuto cambiare gli estremi mettendo il $-$ davanti e quindi viene come hai scritto tu, per il resto allora va bene come ho risolto io, a parte il caso in cui $ a=0 $, $ b=0 $. Non capisco perchè non converge..
Otterrei:
$ \int_0^1 1/(logt)dt $ che studiato in un intorno di $ 0^+ $ dovrebbe convergere..
"Itsgre95":
Non capisco perchè non converge..
Perché si ha:
$\text{li}(x) := {(\int_0^x \frac{dt}{ln t} \quad \text{ per } 0 < x < 1),(), (PV \int_0^x \frac{dt}{ln t} text{ per } x > 1):} $
Tale funzione si chiama integrale logaritmico e ha una singolarità in $x = 1 $.
$ \lim_{x \to 1^-} \int_0^x (dt)/(ln t) = \lim_{x \to 1^-} \text{li}(x) = -\infty $
Dai un'occhiata qui
Ok, grazie per la dritta sull'integrale logaritmico, sono d'accordo che $ \lim_{x \to 1^-} \int_0^x (dt)/(ln t) = \lim_{x \to 1^-} \text{li}(x) = -\infty $
dunque l'integrale non converge in un intorno di $ 1^-$
La mia domanda è: in un intorno di $ 0^+$ invece converge?
dunque l'integrale non converge in un intorno di $ 1^-$
La mia domanda è: in un intorno di $ 0^+$ invece converge?
"Itsgre95":
La mia domanda è: in un intorno di $0^+ $ invece converge?
Ma l'integrale proposto è fra $0 $ e $1 $, mica fra $0 $ e $0 + \epsilon $...
D'altronde è chiaro che si ha:
$\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_0^{0 + \epsilon} (dt)/(ln t) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \text{li}(\epsilon) = 0 $
Questo però non è di grande utilità.
Ti segnalo incidentalmente che la funzione integrale logaritmico $\text{li}(x) $ non è definita per $x = 1 $, ma dato che si ha
$ \lim_{x \to 1^-} \text{li}(x) = -\infty $
$ \lim_{x \to 1^+} \text{li}(x) = -\infty $
è consuetudine chiamare con $\text{li}(1) $ il "valore" comune dei due limiti, cioè
$ \text{li}(1) := \lim_{x \to 1^-} \text{li}(x) = \lim_{x \to 1^+} \text{li}(x) = -\infty $
"pilloeffe":
Ma l'integrale proposto è fra 0 e 1, mica fra 0 e 0+
Si, ho capito cosa intendi, ma davanti ad un integrale di questo tipo sono stata abituata a studiare il comportamento della funzione integranda in un intorno degli estremi dell'integrale. Avendo in questo caso $ \int_0^1 1/(logt)dt $ dunque studierei cosa succede per $t \to 0^+$ e $ t \to 1^- $.
Non so se sono riuscita a spiegarmi, scusa i tanti messaggi ma è un argomento su cui ho un pò di dubbi e cerco di capire
"Itsgre95":
Non so se sono riuscita a spiegarmi, scusa i tanti messaggi
Ma figurati, c'è chi ha scritto più di 8 volte i tuoi messaggi per argomenti molto più semplici di questo...
"Itsgre95":
[...] dunque studierei cosa succede per $t \to 0^+ $ e $ t \to 1^- $.
Guarda che è corretto: in $0^+ $ tutto bene, in $1^- $ invece purtroppo no. Pertanto si conclude che $ \int_0^1 (dt)/(logt) $ è divergente.
"pilloeffe":
Guarda che è corretto: in 0+ tutto bene, in 1− invece purtroppo no
Ok, allora ci siamo!
Dubbio chiarito, grazie per l'aiuto!
ps. prossimamente potrei avere altro da chiedere
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