Convergenza integrale improprio
Salve a tutti. Ho questo integrale da calcolare: $int_(-infty)^(+infty) (2x^2-xsin(\pix))/(16x^4-1)dx$.
Prima di passare al metodo di calcolo devo verificare che sia convergente, quindi per le proprietà degli integrali impropri so che per una funzione dispari (che è il mio caso) si ha:
$(1)$ se $int_(0)^(+infty) f(x)dx$ converge, allora anche $int_(-infty)^(+infty) f(x)dx$ converge.
$(2)$ se $int_(0)^(+infty) f(x)dx$ diverge oppure non esiste, allora anche $int_(-infty)^(+infty) f(x)dx$ non esiste.
Quindi devo calcolare questo limite:
$lim_(x -> +infty)int_(0)^(x)(2x^2-xsin(\pix))/(16x^4-1)dx$.
Come faccio? E' lecito usare gli sviluppi di Taylor? Oppure, siccome si presenta nel modo $infty/infty$, posso applicare De L'Hopital?
Prima di passare al metodo di calcolo devo verificare che sia convergente, quindi per le proprietà degli integrali impropri so che per una funzione dispari (che è il mio caso) si ha:
$(1)$ se $int_(0)^(+infty) f(x)dx$ converge, allora anche $int_(-infty)^(+infty) f(x)dx$ converge.
$(2)$ se $int_(0)^(+infty) f(x)dx$ diverge oppure non esiste, allora anche $int_(-infty)^(+infty) f(x)dx$ non esiste.
Quindi devo calcolare questo limite:
$lim_(x -> +infty)int_(0)^(x)(2x^2-xsin(\pix))/(16x^4-1)dx$.
Come faccio? E' lecito usare gli sviluppi di Taylor? Oppure, siccome si presenta nel modo $infty/infty$, posso applicare De L'Hopital?
Risposte
Dell'Hopital penso lo puoi tranquillamente utilizzare (si può utilizzare per le forme indeterminate $ 0/0 $ e $ infty/infty $), ma puoi anche utilizzare gli sviluppi di mc laurin (taylor intorno allo zero)
P.S. solo un piccolo appunto: la funzione non è dispari bensì pari, ma questo non conto niente ai fini dei calcoli che hai fatto...
P.S. solo un piccolo appunto: la funzione non è dispari bensì pari, ma questo non conto niente ai fini dei calcoli che hai fatto...
Ciao. Ah quindi potrei utilizzare anche gli sviluppi di Mc Laurin? 
...mmmm...Non riesco a capire, quando utilizzo gli sviluppo, studio la funzione nel punto $0$, ma a me il limite tende ad infinito. C'è qualche teorema che mi permette di farlo? Ho dei dubbi perchè nonmi è mai capitato di doverli applicare a limiti che tendono all'infinito.
P.s. Scusami, hai ragione, ho dimenticato quel $x$ davanti al seno, chiedo scusa xD sono un pò fuso. Quindi il ragionamento non vale più. cioè nel senso, avrei che: $int_(-infty)^(+infty) f(x)dx= 2int_(0)^(+infty) f(x)dx $.
Quindi se uno converge allora anche l'altro converge e viceversa. Giusto?
...mmmm...Non riesco a capire, quando utilizzo gli sviluppo, studio la funzione nel punto $0$, ma a me il limite tende ad infinito. C'è qualche teorema che mi permette di farlo? Ho dei dubbi perchè nonmi è mai capitato di doverli applicare a limiti che tendono all'infinito. P.s. Scusami, hai ragione, ho dimenticato quel $x$ davanti al seno, chiedo scusa xD sono un pò fuso. Quindi il ragionamento non vale più. cioè nel senso, avrei che: $int_(-infty)^(+infty) f(x)dx= 2int_(0)^(+infty) f(x)dx $.
Quindi se uno converge allora anche l'altro converge e viceversa. Giusto?
Penso che abbia senso usare lo sviluppo di Mc Laurin poichè l'integrale è intorno allo zero: $ int_{0}^{x} f(x) dx $
p.s.anche nel caso di una funzione pari vale il tuo ragionamento
p.s.anche nel caso di una funzione pari vale il tuo ragionamento
Ok grazie mille nello 
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Salve a tutti. Vorrei una conferma di questo stesso esercizio perchè purtroppo non ho a disposizione le soluzioni. Posto il mio procedimento di seguito:
Come ho già verificato, l'integrando converge per $x->+-infty$. Posto $f(z)=(2z^2+ze^(j\piz))/(16z^4-1)$ ho che $zf(z)->0$ per $z->+infty$ quindi ho che $R[infty]=0$. I poli della funzione sono le soluzioni dell'equazione $z=root(4)(1/16)$. Di queste due sono reali e sono $z=1/2$; $z=-1/2$, di quelle complesse scelgo quella con il coefficiente immaginario positivo e quindi $z=j/2$.
Allora il mio integrale sarà uguale a:
$v.p. int_(-infty)^(+infty) f(x)dx= 2\pij(R[j/2])+\pij(R[1/2]+R[-1/2])$.
Pertanto l'integrale di partenza, che indico con $I$, sarà $I=Im[2\pij(R[j/2])+\pij(R[1/2]+R[-1/2])]=-\pi/8$.
E' giusto? Potreste gentilemente confermarmi il risultato? Grazie a tutti.
P.s. il mio dubbio è sul segno del risultato.
Come ho già verificato, l'integrando converge per $x->+-infty$. Posto $f(z)=(2z^2+ze^(j\piz))/(16z^4-1)$ ho che $zf(z)->0$ per $z->+infty$ quindi ho che $R[infty]=0$. I poli della funzione sono le soluzioni dell'equazione $z=root(4)(1/16)$. Di queste due sono reali e sono $z=1/2$; $z=-1/2$, di quelle complesse scelgo quella con il coefficiente immaginario positivo e quindi $z=j/2$.
Allora il mio integrale sarà uguale a:
$v.p. int_(-infty)^(+infty) f(x)dx= 2\pij(R[j/2])+\pij(R[1/2]+R[-1/2])$.
Pertanto l'integrale di partenza, che indico con $I$, sarà $I=Im[2\pij(R[j/2])+\pij(R[1/2]+R[-1/2])]=-\pi/8$.
E' giusto? Potreste gentilemente confermarmi il risultato? Grazie a tutti.
P.s. il mio dubbio è sul segno del risultato.
nessuno può aiutarmi ?
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