Convergenza integrale improprio

[smaug1]

Questa volta per $a>0$ bisogna studiare:

$\int_0^oo \frac{x^3(x+1)^{1 - a}}{x^4 + (1 - \cos x)^a}$

In zero la funzione non è definita abbiamo una forma $0/0$ e bisogna studiare anche il caso per $x->oo$

$1.$ per $x->0^+$ $f(x) \sim x^3 / (x^4 + x^{2a}/2) \sim 1 / (x + x^{2a - 3})$ in questi casi cosa direste? Io so che $a$ è maggiore di zero, a seconda del valore di $a$ non so quale termine dei due trascurare...non so se ho fatto capire quale è il dilemma...

$2.$ Per $x->oo$ invece $f(x) \sim x^3 / x^4$ poichè al numeratore essendo $a$ positivo per forza di cose il termine di grado massimo, quello dominante è $x^3$ e al denominatore invece essendo il coseno una funzione limitata si considera $x^4$ e allora la funzione è $\sim 1/x$...l'esponente della $x$ è $1$ e non maggiore di $1$ quindi diverge...?

Grazie

[StefanoMDj]

per quanto riguarda il primo caso devi studiare quando considerare uno e quando considerare l'altro solamente con $a>0$ quindi magari con $a=1$ noterai che $1/(x+x^-1)$ -> $x/(x^2+1)$ che chiaramente tende a 0 per $x->0$ , con $a=2$ noterai che $1/(x+x)$ -> $oo$ per $x->0$ quindi non va bene...il valore limite per la convergenza è $a=3/2$ quindi $a<3/2$

per il secondo caso attento:

$x^3(x+1)^(1-a)$ non è asintotico a $x^3$ ma bensì a $x^(1-a+3)$ che dividendo per $x^4$ fa $x^(1-a+3-4)$
ovviamente $1/x^a$ quindi $a>1$

secondo me viene $1

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[smaug1]

"StefanoMDj":per quanto riguarda il primo caso devi studiare quando considerare uno e quando considerare l'altro solamente con $a>0$ quindi magari con $a=1$ noterai che $1/(x+x^-1)$ -> $x/(x^2+1)$ che chiaramente tende a 0 per $x->0$ , con $a=2$ noterai che $1/(x+x)$ -> $oo$ per $x->0$ quindi non va bene...il valore limite per la convergenza è $a=3/2$ quindi $a<3/2$

Non ho ben capito come fai a dire che $a= 3/2$

non si potrebbe considerare il caso in cui $2a-3 <= 1$?

[StefanoMDj]

"davidedesantis":[quote="StefanoMDj"]per quanto riguarda il primo caso devi studiare quando considerare uno e quando considerare l'altro solamente con $a>0$ quindi magari con $a=1$ noterai che $1/(x+x^-1)$ -> $x/(x^2+1)$ che chiaramente tende a 0 per $x->0$ , con $a=2$ noterai che $1/(x+x)$ -> $oo$ per $x->0$ quindi non va bene...il valore limite per la convergenza è $a=3/2$ quindi $a<3/2$

Non ho ben capito come fai a dire che $a= 3/2$ [/quote]

perchè con $1/(x+x^(2a-3))$ l'unico modo di renderla convergente è porre $2a-3<=0$ perchè se $2a-3>0$ sarebbe sempre asintotica a $1/(x)$ che diverge nell'intervallo considerato

[StefanoMDj]

prova questo...ad esempio $a=3$ abbiamo $1/(x+x^(6-3))$ che per $x->0$ è asintotica sempre a $1/x$ quindi diverge!

[smaug1]

Se sono in un punto in cui ho per $x->0^+$ $f(x )\sim$ $1 / (x^{2a -2}/2 + x)$ in pratica se $2a - 2$ fosse più grande dell'altro allora la funzione sarebbe asintotica a $1 /x $ e quindi divergerebbe, se invece fosse più piccolo, allora la funzione è asintotica a $1 / (x^{2a-2} / 2)$ che converge quando $2a - 2 < 1$, cioè $a < 3/2$?