Convergenza integrale improprio
Ciao a tutti!
In questi ultimi giorni mi sono imbattuto in questo esercizio che non riesco a concludere:
Discutere la convergenza dell'integrale improprio $\int_{0}^{infty}(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))dx$
Per prima cosa spezzo l'integrale per studiare separatamente i casi in cui x tende a 0 e infinito:
$\int_{0}^{infty}(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))dx= \int_{0}^{1}(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))dx+\int_{1}^{infty}(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))dx$
1)Convergenza $\int_{0}^{1}(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))dx$
Siccome per $xrarr0$ si ha $(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))~x^2/(2root(3)(x)(x^2))=1/(2root(3)(x))$
posso affermare che l'integrale per $xrarr0$ converge perchè il coefficente dell'esponente della x (1/3) risulta minore di 1
2)Convergenza $\int_{1}^{infty}(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))dx$
E qui ho dei problemi, quindi non sono assolutamente sicuro di quello che sto per affermare.
Allora, per $xrarrinfty$ mi verrebbe da dire che $(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))~(1-cosx)/(root(3)(x)ln(x^2))$
ma sicuramente non posso concludere in questo modo.
Intanto la condizione di convergenza per $xrarrinfty$ l'ho se verifco che $(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))~1/(x^(\alpha))$
con $\alpha$ >1.
In questo caso ho $1-cosx$ che è una funzione che dovrebbe essere limitata tra 0 e 2 per $xrarrinfty$
quindi mi verrebbe da dire che:
$(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))<=2/(root(3)(x)ln(x^2))$
siccome sto trattando l'integrale come una sorta di serie dovrei avere la possibilità di studiare la funzione
$1/(root(3)(x)ln(x^2))$ che, basandomi sul fatto che il logaritmo cresce con estrema lentezza, mi verrebbe da classificare divergente.
Quindi tirando le somme mi verrebbe da dire che $\int_{0}^{infty}(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))dx$ è divergente perchè per $xrarrinfty$ diverge.
Qualcuno saprebbe dirmi come si conclude questo esercizio perchè io non so proprio dove andare a sbattere i capo! (al libro di analisi gli ho dato fuoco!)
In questi ultimi giorni mi sono imbattuto in questo esercizio che non riesco a concludere:
Discutere la convergenza dell'integrale improprio $\int_{0}^{infty}(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))dx$
Per prima cosa spezzo l'integrale per studiare separatamente i casi in cui x tende a 0 e infinito:
$\int_{0}^{infty}(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))dx= \int_{0}^{1}(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))dx+\int_{1}^{infty}(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))dx$
1)Convergenza $\int_{0}^{1}(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))dx$
Siccome per $xrarr0$ si ha $(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))~x^2/(2root(3)(x)(x^2))=1/(2root(3)(x))$
posso affermare che l'integrale per $xrarr0$ converge perchè il coefficente dell'esponente della x (1/3) risulta minore di 1
2)Convergenza $\int_{1}^{infty}(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))dx$
E qui ho dei problemi, quindi non sono assolutamente sicuro di quello che sto per affermare.
Allora, per $xrarrinfty$ mi verrebbe da dire che $(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))~(1-cosx)/(root(3)(x)ln(x^2))$
ma sicuramente non posso concludere in questo modo.
Intanto la condizione di convergenza per $xrarrinfty$ l'ho se verifco che $(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))~1/(x^(\alpha))$
con $\alpha$ >1.
In questo caso ho $1-cosx$ che è una funzione che dovrebbe essere limitata tra 0 e 2 per $xrarrinfty$
quindi mi verrebbe da dire che:
$(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))<=2/(root(3)(x)ln(x^2))$
siccome sto trattando l'integrale come una sorta di serie dovrei avere la possibilità di studiare la funzione
$1/(root(3)(x)ln(x^2))$ che, basandomi sul fatto che il logaritmo cresce con estrema lentezza, mi verrebbe da classificare divergente.
Quindi tirando le somme mi verrebbe da dire che $\int_{0}^{infty}(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))dx$ è divergente perchè per $xrarrinfty$ diverge.
Qualcuno saprebbe dirmi come si conclude questo esercizio perchè io non so proprio dove andare a sbattere i capo! (al libro di analisi gli ho dato fuoco!)
Risposte
Salve,
guardiamo se l'integrale $\int_2^{+\infty}\frac{x^{-1/3}}{\ln x}dx$ converge. Calcoliamo $\int_e^A\frac{x^{-1/3}}{\ln x}dx$; ponendo $t:=\ln x$ otteniamo che $x=e^t$ dunque $dx =e^tdt$ e $\int_e^A\frac{x^{-1/3}}{\ln x}dx = \int_1^{\ln A}\frac{e^{-t/3}}{t}e^tdt =\int_1^{\ln A}\frac{e^{2t/3}}t dt$ e questa integrale purtroppo diverge. Dico "purtroppo" perché questo mostra che quelle che hai fatto non ti permette di concludere.
Come fare allora? Possiamo trovare $t_0\geq 1$ tale che se $t\geq t_0$ abbiamo $\ln (1+t^2)\leq t^{2/3}$. Dunque, per $t\geq t_0$ abbiamo $\frac{1-\cos t}{t^{1/3}\ln (1+t^2)}\geq \frac{1-\cos t}{t} =\frac 1t -\frac{\cos t}t\geq 0$. Puoi mostrare che l'integrale della prima funzione diverge ma quello che ci salva è che la seconda converge (dunque la somma diverge).
guardiamo se l'integrale $\int_2^{+\infty}\frac{x^{-1/3}}{\ln x}dx$ converge. Calcoliamo $\int_e^A\frac{x^{-1/3}}{\ln x}dx$; ponendo $t:=\ln x$ otteniamo che $x=e^t$ dunque $dx =e^tdt$ e $\int_e^A\frac{x^{-1/3}}{\ln x}dx = \int_1^{\ln A}\frac{e^{-t/3}}{t}e^tdt =\int_1^{\ln A}\frac{e^{2t/3}}t dt$ e questa integrale purtroppo diverge. Dico "purtroppo" perché questo mostra che quelle che hai fatto non ti permette di concludere.
Come fare allora? Possiamo trovare $t_0\geq 1$ tale che se $t\geq t_0$ abbiamo $\ln (1+t^2)\leq t^{2/3}$. Dunque, per $t\geq t_0$ abbiamo $\frac{1-\cos t}{t^{1/3}\ln (1+t^2)}\geq \frac{1-\cos t}{t} =\frac 1t -\frac{\cos t}t\geq 0$. Puoi mostrare che l'integrale della prima funzione diverge ma quello che ci salva è che la seconda converge (dunque la somma diverge).
Mi sembra corretto il punto a cui sei arrivato: io ricordo che ci avevano detto che in una situazione del tipo [tex]\displaystyle \frac{1}{x^\alpha \ln^\beta x}[/tex] il logaritmo è trascurabile se la [tex]x[/tex] non è di primo grado.
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