Convergenza integrale improprio

Gost91
Ciao a tutti!

In questi ultimi giorni mi sono imbattuto in questo esercizio che non riesco a concludere:

Discutere la convergenza dell'integrale improprio $\int_{0}^{infty}(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))dx$

Per prima cosa spezzo l'integrale per studiare separatamente i casi in cui x tende a 0 e infinito:

$\int_{0}^{infty}(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))dx= \int_{0}^{1}(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))dx+\int_{1}^{infty}(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))dx$

1)Convergenza $\int_{0}^{1}(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))dx$

Siccome per $xrarr0$ si ha $(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))~x^2/(2root(3)(x)(x^2))=1/(2root(3)(x))$

posso affermare che l'integrale per $xrarr0$ converge perchè il coefficente dell'esponente della x (1/3) risulta minore di 1

2)Convergenza $\int_{1}^{infty}(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))dx$

E qui ho dei problemi, quindi non sono assolutamente sicuro di quello che sto per affermare.

Allora, per $xrarrinfty$ mi verrebbe da dire che $(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))~(1-cosx)/(root(3)(x)ln(x^2))$

ma sicuramente non posso concludere in questo modo.

Intanto la condizione di convergenza per $xrarrinfty$ l'ho se verifco che $(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))~1/(x^(\alpha))$

con $\alpha$ >1.

In questo caso ho $1-cosx$ che è una funzione che dovrebbe essere limitata tra 0 e 2 per $xrarrinfty$

quindi mi verrebbe da dire che:

$(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))<=2/(root(3)(x)ln(x^2))$

siccome sto trattando l'integrale come una sorta di serie dovrei avere la possibilità di studiare la funzione

$1/(root(3)(x)ln(x^2))$ che, basandomi sul fatto che il logaritmo cresce con estrema lentezza, mi verrebbe da classificare divergente.

Quindi tirando le somme mi verrebbe da dire che $\int_{0}^{infty}(1-cosx)/(root(3)(x)ln(1+x^2))dx$ è divergente perchè per $xrarrinfty$ diverge.

Qualcuno saprebbe dirmi come si conclude questo esercizio perchè io non so proprio dove andare a sbattere i capo! (al libro di analisi gli ho dato fuoco!)

Risposte
girdav
Salve,
guardiamo se l'integrale $\int_2^{+\infty}\frac{x^{-1/3}}{\ln x}dx$ converge. Calcoliamo $\int_e^A\frac{x^{-1/3}}{\ln x}dx$; ponendo $t:=\ln x$ otteniamo che $x=e^t$ dunque $dx =e^tdt$ e $\int_e^A\frac{x^{-1/3}}{\ln x}dx = \int_1^{\ln A}\frac{e^{-t/3}}{t}e^tdt =\int_1^{\ln A}\frac{e^{2t/3}}t dt$ e questa integrale purtroppo diverge. Dico "purtroppo" perché questo mostra che quelle che hai fatto non ti permette di concludere.
Come fare allora? Possiamo trovare $t_0\geq 1$ tale che se $t\geq t_0$ abbiamo $\ln (1+t^2)\leq t^{2/3}$. Dunque, per $t\geq t_0$ abbiamo $\frac{1-\cos t}{t^{1/3}\ln (1+t^2)}\geq \frac{1-\cos t}{t} =\frac 1t -\frac{\cos t}t\geq 0$. Puoi mostrare che l'integrale della prima funzione diverge ma quello che ci salva è che la seconda converge (dunque la somma diverge).

Raptorista1
Mi sembra corretto il punto a cui sei arrivato: io ricordo che ci avevano detto che in una situazione del tipo [tex]\displaystyle \frac{1}{x^\alpha \ln^\beta x}[/tex] il logaritmo è trascurabile se la [tex]x[/tex] non è di primo grado.

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