Convergenza integrale improprio

[Gost91]

Salve ragazzi ho ancora un quesito per oggi, dovrei stabilire se il seguente integrale improprio converge:

$\int_{0}^{infty} (1-e^(-x^4))/(x^3ln(1+root(3)(x^5))) dx$

Ora il calcolo della primitiva non mi pare abbastanza pratico, così ho pensato che la strada da intraprendere fosse un'altra (rispetto all'utilizzo della definizione per il calcolo)
Quindi rovistando su internet (odio il mio testo di analisi) ho trovato che l'integrale si può studiare vedendolo come una sorta di serie numerica.
Sperando di aver capito quello che ho letto, mi sono mosso in questo modo:

$\int_{0}^{infty} (1-e^(-x^4))/(x^3ln(1+root(3)(x^5))) dx = \int_{0}^{1} (1-e^(-x^4))/(x^3ln(1+root(3)(x^5))) dx + \int_{1}^{infty} (1-e^(-x^4))/(x^3ln(1+root(3)(x^5))) dx$

Ora studio singolarmente i due integrali:

*Per il primo integrale posso studiare la funzione asintotica per $xrarr0:

$(1-e^(-x^4))/(x^3ln(1+root(3)(x^5))) ~ x^4/(x^3(root(3)(x^5)))=x^4/x^(14/3)=1/x^(2/3)$

siccome l'esponente della x è <1 posso affermare che il primo integrale converge;

*Per il secondo integrale studio la funzione asintotica per $xrarrinfty$:

$(1-e^(-x^4))/(x^3ln(1+root(3)(x^5))) ~ 1/(x^3ln(root(3)(x^5))$

siccome l'esponente della x al denominatore è >1 posso affermare che anche il secondo integrale converge;

Tirando le conclusioni, l'integrale converge perchè entrambi gli integrali convergono.

Premetto che è la prima volta che provo a svolgere un esercizio del genere, qualcuno potrebbe spiegarmi se ho compiuto correttamente l'esercizio oppure ho scritto una marea di idiozie?

grazie in anticipo

[Seneca1]

Direi che invece hai fatto tutto piuttosto bene. Non ho controllato i calcoli ma sicuramente il metodo è corretto.

[Gost91]

Grazie!
Più che altro volevo essere sicuro di essermi mosso bene!