Convergenza integrale improprio
Ho il seguente integrale improprio di cui devo verificare la convergenza (o meno):
$int_1^oo (arctanx - \pi + 1/x) dx$. Dal libro mi si dice che converge, ma non riesco sinceramente a comprendere come, dato che l'arcotangente va al limite a $\pi/2$, che $1/x$ è ovviamente infinitesimo, e che il tutto converge all'infinito a $-\pi/2$; sbaglio qualcosa in questo ragionamento?
Mi è passato per la mente che potesse esserci un errore di stampa e l'integrale doveva invece essere $int_1^oo (arctanx - \pi/2 + 1/x) dx$ che sembra in ogni caso più interessante. Svolgendo quest'altro integrale, ho considerato che $lim_(x->oo) (arctanx-\pi/2)/(-1/x)= 1$. Ora, questo mi significa che in quanto a convergenza e divergenza $int_0^oo (arctanx -\pi/2 dx = int_0^oo -1/x dx$. Ma è lecita una simile "sostituzione" ? Facendola tra l'altro mi si annulla il tutto; significa semplicemente che mi serve qualche approssimazione più forte del comportamento dell'arcotangente?
Grazie
$int_1^oo (arctanx - \pi + 1/x) dx$. Dal libro mi si dice che converge, ma non riesco sinceramente a comprendere come, dato che l'arcotangente va al limite a $\pi/2$, che $1/x$ è ovviamente infinitesimo, e che il tutto converge all'infinito a $-\pi/2$; sbaglio qualcosa in questo ragionamento?
Mi è passato per la mente che potesse esserci un errore di stampa e l'integrale doveva invece essere $int_1^oo (arctanx - \pi/2 + 1/x) dx$ che sembra in ogni caso più interessante. Svolgendo quest'altro integrale, ho considerato che $lim_(x->oo) (arctanx-\pi/2)/(-1/x)= 1$. Ora, questo mi significa che in quanto a convergenza e divergenza $int_0^oo (arctanx -\pi/2 dx = int_0^oo -1/x dx$. Ma è lecita una simile "sostituzione" ? Facendola tra l'altro mi si annulla il tutto; significa semplicemente che mi serve qualche approssimazione più forte del comportamento dell'arcotangente?
Grazie
Risposte
Quell'integrale ha primitiva elementare, quindi puoi fare il calcolo direttamente!
Ciao,
non sono un esperto, ma alcune cose le sto studiando (ripetendo) pure io ora.
Quello che fai non mi sembra corretto, sicuramente le limitazioni che dai del dominio/codominio sono corrette (di arctan, ecc) ma come svolgi la limitazione dell'integrale, per capire se congerge/diverge o non esiste limitazione è secondo me sbagliato.
Io lo risolverei così:
$int_1^infty (arctanx - \pi + 1/x) dx =^(def) lim_(x->(+infty)) int_(1)^x (arctant - \pi + 1/t) dt $
svolgendo l'integrale:
$int_(1)^x arctant dt - (\pi int_(1)^x 1 dt) + int_(1)^x 1/t dt = tarctan(t)-ln(1+t^2)/2]_(1)^x - (\pi t)]_(1)^x + ln(t)]_(1)^x =$
$lim_(x->(+infty)) xarctan(x)-ln(1+x^2)/2-45+ln(2)/2 - 1/2 -\pix + \pi + ln(x) - ln(1) = lim_(x->(+infty)) -1/2 +\pi -45 + ln(2)/2 + xarctan(x)-ln(1+x^2)/2 -\pix + ln(x) =$
raccogliendo $x$ e il logaritmo:
$lim_(x->(+infty)) -1/2 +\pi -45 + ln(2)/2 + x(arctan(x)-\pi) - (ln(sqrt(1+x^2)) - ln(x)) = lim_(x->(+infty)) -1/2 +\pi -45 + ln(2)/2 + x(arctan(x)-\pi) - ln(sqrt(1+x^2)/x) =$
$lim_(x->(+infty)) -1/2 +\pi -45 + ln(2)/2 + lim_(x->(+infty)) x(arctan(x)-\pi) - lim_(x->(+infty)) ln(sqrt(1+x^2)/x) = -1/2 +\pi -45 + ln(2)/2 + infty(\pi/2 + pi) - 0 = +infty$
che secondo la teoria, se il limite esiste ma è infinito, l'integrale diverge.
Spero sia utile
EDIT: Ho corretto qualcosa, forse ora è meglio.
non sono un esperto, ma alcune cose le sto studiando (ripetendo) pure io ora.
Quello che fai non mi sembra corretto, sicuramente le limitazioni che dai del dominio/codominio sono corrette (di arctan, ecc) ma come svolgi la limitazione dell'integrale, per capire se congerge/diverge o non esiste limitazione è secondo me sbagliato.
Io lo risolverei così:
$int_1^infty (arctanx - \pi + 1/x) dx =^(def) lim_(x->(+infty)) int_(1)^x (arctant - \pi + 1/t) dt $
svolgendo l'integrale:
$int_(1)^x arctant dt - (\pi int_(1)^x 1 dt) + int_(1)^x 1/t dt = tarctan(t)-ln(1+t^2)/2]_(1)^x - (\pi t)]_(1)^x + ln(t)]_(1)^x =$
$lim_(x->(+infty)) xarctan(x)-ln(1+x^2)/2-45+ln(2)/2 - 1/2 -\pix + \pi + ln(x) - ln(1) = lim_(x->(+infty)) -1/2 +\pi -45 + ln(2)/2 + xarctan(x)-ln(1+x^2)/2 -\pix + ln(x) =$
raccogliendo $x$ e il logaritmo:
$lim_(x->(+infty)) -1/2 +\pi -45 + ln(2)/2 + x(arctan(x)-\pi) - (ln(sqrt(1+x^2)) - ln(x)) = lim_(x->(+infty)) -1/2 +\pi -45 + ln(2)/2 + x(arctan(x)-\pi) - ln(sqrt(1+x^2)/x) =$
$lim_(x->(+infty)) -1/2 +\pi -45 + ln(2)/2 + lim_(x->(+infty)) x(arctan(x)-\pi) - lim_(x->(+infty)) ln(sqrt(1+x^2)/x) = -1/2 +\pi -45 + ln(2)/2 + infty(\pi/2 + pi) - 0 = +infty$
che secondo la teoria, se il limite esiste ma è infinito, l'integrale diverge.
Spero sia utile
EDIT: Ho corretto qualcosa, forse ora è meglio.
Uno svarione lo vedo già io: hai derivato l'arcotangente anziché integrarla!
grandioso, meglio lasciar stare allora. Sorry
No problem, capita a tutti! Soprattutto a me 
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