Convergenza integrale improprio
Ciao, devo trovare i valori di $b>=0$ per i quali un certo integrale converge. Per quanto riguarda il comportamento dell'integrale vicino a 0, ho i seguenti casi:
1) se $b>1$, l'integrale converge per ogni $b>1$;
2) se $b=1$, l'integrale converge;
3) se $1/20$;
4) se $b=1/2$, l'integrale converge;
5) se $0
La domanda è: come faccio, ora, a capire quali sono i valori di $b$ per i quali quell'integrale per x che tende a 0 converge? Grazie mille
1) se $b>1$, l'integrale converge per ogni $b>1$;
2) se $b=1$, l'integrale converge;
3) se $1/2
4) se $b=1/2$, l'integrale converge;
5) se $0
La domanda è: come faccio, ora, a capire quali sono i valori di $b$ per i quali quell'integrale per x che tende a 0 converge? Grazie mille
Risposte
Scusa Scoscia, non per sembrare il degno assistente di "Capitan Ovvio"... ma l'integrale dove sta?
"ciampax":
Scusa Scoscia, non per sembrare il degno assistente di "Capitan Ovvio"... ma l'integrale dove sta?
$ int_(0)^(+oo) $ $(2x+sin(x^b))/(e^x-cos(x^b))$
Non ho capito come si riassumono tutti quei casi.
Mi interessa solo il caso per x che tende a 0, dal momento che per x che tende a più infinito è facile.
Allora, in $x=+\infty$ la funzione è equivalente a $x/e^x$ per cui l'integrale converge e come vedi non dipende dalla scelta di $b$. Quando invece sei prossimo a zero, la funzione integranda risulta equivalente a
[tex]$\frac{2x+x^b}{1-x-1+x^{2b}{2}}=\frac{x(2+x^{b-1})}{x(-1+x^{2b-1}/2)}=\frac{2(2+x^{b-1})}{-2+x^{2b-1}}$[/tex]
A questo punto, vedi che è solo una questione di come scegliere la $b$ combinando i casi (ricorda che in $x=0$ prevalgono le potenze con esponente minore). Parti dal numeratore (che indico con $N$, mentre con $D$ indico il numeratore e con $F$ tuttal la funzione), ad esempio, analizzando cosa succede a quella potenza:
se $b>1$ allora $2b-1>1$ e [tex]$N\sim 4,\ D\sim -2,\ F\sim-2$[/tex] per cui l'integrale converge;
se $b=1$ allora $2b-1=1$ e [tex]$N\sim6,\ D\sim -2,\ F\sim-3$[/tex] di nuovo convergente;
se $b<1$ allora [tex]$N\sim 2x^{b-1}$[/tex] e quindi devi distinguere i vari casi a seconda di cosa accade al denominatore:
- se $0<2b-1<1$ cioè $1/2
- se $2b-1<0$ cioè $b<1/2$ allora [tex]$D\sim x^{2b-1},\ F\sim\frac{2x^{b-1}}{x^{2b-1}}=\frac{2}{x^b}$[/tex], che converge per $b<1$ e quindi, essendo $b<1/2$, converge.
Ecco qua, spero sia chiaro. Sostanzialmente, ti basta fissare uno dei due, tra numeratore e denominatore, e capire cosa succede al tutto.
[tex]$\frac{2x+x^b}{1-x-1+x^{2b}{2}}=\frac{x(2+x^{b-1})}{x(-1+x^{2b-1}/2)}=\frac{2(2+x^{b-1})}{-2+x^{2b-1}}$[/tex]
A questo punto, vedi che è solo una questione di come scegliere la $b$ combinando i casi (ricorda che in $x=0$ prevalgono le potenze con esponente minore). Parti dal numeratore (che indico con $N$, mentre con $D$ indico il numeratore e con $F$ tuttal la funzione), ad esempio, analizzando cosa succede a quella potenza:
se $b>1$ allora $2b-1>1$ e [tex]$N\sim 4,\ D\sim -2,\ F\sim-2$[/tex] per cui l'integrale converge;
se $b=1$ allora $2b-1=1$ e [tex]$N\sim6,\ D\sim -2,\ F\sim-3$[/tex] di nuovo convergente;
se $b<1$ allora [tex]$N\sim 2x^{b-1}$[/tex] e quindi devi distinguere i vari casi a seconda di cosa accade al denominatore:
- se $0<2b-1<1$ cioè $1/2
- se $2b-1<0$ cioè $b<1/2$ allora [tex]$D\sim x^{2b-1},\ F\sim\frac{2x^{b-1}}{x^{2b-1}}=\frac{2}{x^b}$[/tex], che converge per $b<1$ e quindi, essendo $b<1/2$, converge.
Ecco qua, spero sia chiaro. Sostanzialmente, ti basta fissare uno dei due, tra numeratore e denominatore, e capire cosa succede al tutto.
Intanto, credo sia da considerare [tex]$b\geq0$[/tex], giusto?
Poi, tenendo presente Taylor, intorno a [tex]$0$[/tex] hai:
[tex]$N(x):= x+\sin x^b \approx x+x^b$[/tex] e [tex]$D(x):=e^x-\cos x^b \approx x+ \tfrac{1}{2} x^{2b}$[/tex],
se [tex]$b>0$[/tex] e [tex]$\tfrac{N(x)}{D(x)} =\tfrac{x+\sin 1}{e^x-\cos 1}$[/tex] se [tex]$b=0$[/tex]; quindi:
[tex]$\frac{N(x)}{D(x)} \approx \begin{cases} C &\text{, se $b=0$} \\ \frac{1}{x^b} &\text{, se $0< b < \frac{1}{2}$} \\ \frac{1}{x^{1-b}} &\text{, se $\frac{1}{2} \leq b <1$} \\ C &\text{, se $1\leq b$} \end{cases}$[/tex]
e da qui concludi facilmente.
@ciampax: Scusami, non avevo visto il tuo post.
Poi, tenendo presente Taylor, intorno a [tex]$0$[/tex] hai:
[tex]$N(x):= x+\sin x^b \approx x+x^b$[/tex] e [tex]$D(x):=e^x-\cos x^b \approx x+ \tfrac{1}{2} x^{2b}$[/tex],
se [tex]$b>0$[/tex] e [tex]$\tfrac{N(x)}{D(x)} =\tfrac{x+\sin 1}{e^x-\cos 1}$[/tex] se [tex]$b=0$[/tex]; quindi:
[tex]$\frac{N(x)}{D(x)} \approx \begin{cases} C &\text{, se $b=0$} \\ \frac{1}{x^b} &\text{, se $0< b < \frac{1}{2}$} \\ \frac{1}{x^{1-b}} &\text{, se $\frac{1}{2} \leq b <1$} \\ C &\text{, se $1\leq b$} \end{cases}$[/tex]
e da qui concludi facilmente.
@ciampax: Scusami, non avevo visto il tuo post.
quindi quell'integrale, per x che tende a 0, converge qualunque sia $b$ in R?
@gugo: e di che ti scusi? 
@Soscia: sì, in effetti sì.
@Soscia: sì, in effetti sì.
"ciampax":
@gugo: e di che ti scusi?
@Soscia: sì, in effetti sì.
Comunque penso che il nocciolo della questione sia questo. Se studiando i vari intervalli (contigui) di convergenza ottengo che l'integrale converge, naturalmente per opportuni $b$, in TUTTI gli intervalli, allora significa che, qualunque sia $b$ in R, sicuramente la funzione asintotica assumerà una espressione analitica tale che il suo integrale converge. E' cosi?
"gugo82":
[tex]$D(x):=e^x-\cos x^b \approx x+ \tfrac{1}{2} x^{2b}$[/tex]
non ho capito perchè questo...
non dovrebbe essere $(1)-(1-1/2*x^(2b))$
(so che ho sbagliato se mi correggete grazie
)
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