Convergenza integrale improprio

[Giko1]

Salve gente dopo aver risolto il problema degli integrali indefiniti ecco qui qualcosa che non ho proprio capito...
Dire per quali valori di  $alpha> 0$ converge l’integrale improprio:

$int_0^1 (e^(3x) - e^(-3x))/(sen(x)^alpha)dx$

se qualcuno è cosi gentile da spiegarmi passo passo come si risolvono questo genere di esercizi gliene sarei molto grato
perchè io nn so davvero cosa fare... a grandi linee so che in qualche modo lo si deve trasformare in un limite e che
ci sono 3 teoremi da usare... non capisco poi come funziona la questione della stima asintotica...

Grazie mille a chi avra la pazienza di rispondermi

[dissonance]

Tempo fa avevo scritto un piccolo riassunto, vedi un po' se ti è utile:

https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#321849

[Giko1]

grazie dell' articolo... ma non riesco a capire come fai a dire che una $f(x)$ si comporta come $1/x^k$ cioe mi sfugge proprio quel passaggio che ti permette diciamo di trasformare la funzione che ho in una di cui riesco a capirne l' ordine...

[dissonance]

Devi confrontare la tua $f$ con un infinito/infinitesimo campione, ovvero - praticamente - calcolare il limite

$lim_{x \to 0} |x^kf(x)|$

considerando $k$ come un parametro e cercando di stabilire (se possibile) per quali $k$ il limite esiste finito. Attenzione! Questo vale nel caso in cui $f$ sia infinita in $0$, il caso che ti serve per l'esercizio in esame. Negli altri casi ($f$ infinitesima all'infinito, $f$ infinita in un punto $x_0$ diverso da $0$) devi regolarti di conseguenza.

[Giko1]

Sono stato fuori per qualche giorno... scusami ma io nn ho capito uguale... non potresti risolvermi quest' esercizio mettendo i vari passaggi? sarebbe tutto molto piu chiaro per me

[Sk_Anonymous]

"Giko":Sono stato fuori per qualche giorno... scusami ma io nn ho capito uguale... non potresti risolvermi quest' esercizio mettendo i vari passaggi? sarebbe tutto molto piu chiaro per me

Quella funzione non è definita in 0, quindi è lì che la funzione diverge. Il suo integrale, dunque, potrebbe o essere un numero finito (converge), o infinito, diverge. Devi dunque approssimare utilizzando gli sviluppi di Taylor-McLaurin l'espressione analitica della funzione quando essa tende a 0. Poi, se il polinomio ammette ordine di infinito-infinitesimo, sai che esiste un teorema che permette di stabilire la convergenza-divergenza di un integrale in base all'ordine della funzione che lo genera. Distingui i vari casi. Io così ho capito che si fa, il mio naturalmente è un procedimento generale. Spero di esserti stato di aiuto, ciao.