Convergenza integrale improprio

[in_me_i_trust]

Salve ragazzi stavo riprendendo in mano alcuni esercizi ma poichè anche quando li studiai non si fecero approfonditamente volevo chiedere il vostro parere su un esercizio per evitare mostruosità^^

$\int_(0)^(2)\frac(\sin^(2) x+2x^(3))(x^(7/4)+5x^(4))\ dx$

Allora i problemi sono nell'intorno di $0$. intanto lo maggioro con

$\int_(0)^(2)\frac(x^(2)+2x^(3))(x^(7/4)+5x^(4))\ dx$=$\int_(0)^(2)\frac(1+2x)(x^(1/3)+5x^(2))\ dx\leq\int_(0)^(2)\frac(1+2x)(x^(1/3))\ dx$

E quest' ultimo una volta spezzato in due noto che mi dà origine a due integrali della forma $\frac(1)(x^(\alpha))$ con $\alpha<1$ e quindi dovrebbe convergere. Che dite ve piace?

[neopeppe89]

scusa ma $sin^2x$ come è diventato $x^2$???

[clrscr]

"in_me_i_trust":Salve ragazzi stavo riprendendo in mano alcuni esercizi ma poichè anche quando li studiai non si fecero approfonditamente volevo chiedere il vostro parere su un esercizio per evitare mostruosità^^

$\int_(0)^(2)\frac(\sin^(2) x+2x^(3))(x^(7/4)+5x^(4))\ dx$

Allora i problemi sono nell'intorno di $0$. intanto lo maggioro con

$\int_(0)^(2)\frac(x^(2)+2x^(3))(x^(7/4)+5x^(4))\ dx$=$\int_(0)^(2)\frac(1+2x)(x^(1/3)+5x^(2))\ dx\leq\int_(0)^(2)\frac(1+2x)(x^(1/3))\ dx$

E quest' ultimo una volta spezzato in due noto che mi dà origine a due integrali della forma $\frac(1)(x^(\alpha))$ con $\alpha<1$ e quindi dovrebbe convergere. Che dite ve piace?

secondo me:
$lim_(x->0) (x^2 (sen^2(x))/x^2)/(x^(7/4)+5x^4)=0$ no problem.
$lim_(x->0) (2x^3)/(x^(7/4)+5x^4)=0$ no problem

[in_me_i_trust]

Allora per neopeppe89, il $sin^(2) x$ diventa $x^(2)$ per il classico limite notevole

$\lim_(x\rightarrow 0)\frac(\sin x)(x)=1$ e quindi $\sinx\approx x$ per $x\rightarrow 0$

Mentre per clrscr: Quindi poichè quei due limiti tendono a $0$ allora l'integrale converge? Ma comunque quello che ho scritto io ha senso?

thank u^^

[in_me_i_trust]

Intanto ve ne posto un altro per gradire

$\int_(0)^(1)\frac(\sin^(2) 3x)(\sqrt(x)(1-\cosh x))\ dx$

Allora sviluppando il coseno iperbolico secondo Mac-Laurin mi viene $1-\cosh x\approx -\frac(1)(2)x$ quindi

$\int_(0)^(1)\frac(\sin^(2) 3x)(\sqrt(x)(1-\cosh x))\ dx\approx -\int_(0)^(1)\frac(\sin^(2) 3x)(\sqrt(x)\frac(1)(2)x)\ dx\approx -\int_(0)^(1)\frac(9x^(2))(\sqrt(x)\frac(1)(2)x)\ dx=-18\int_(0)^(1)\frac(1)(x^(-1/2))\ dx$

Che converge per la solita storia di prima, di quest'altro che ne dite?

[neopeppe89]

grazie in_me_i_trust...l'avevo studiato però mi sfuggiva al momento!!sorry!!!ciao grazie!!

[adaBTTLS1]

scusate, non ho letto tutto con attenzione, ho però qualche dubbio sulla domanda di neopeppe89 e sulla relativa risposta:
ma la "sostituzione" siete certi di poterla fare "all'inizio, nella funzione integranda, su tutto l'intervallo [0,2]"?
non dovrebbe essere usata solo nell'intorno dello zero?
scusate se sono intervenuta a sproposito... non ho proprio voglia di vedere tutti i passaggi... però questo dubbio ce l'ho indipendentemente dalla correttezza di tutto il resto. ciao.

[in_me_i_trust]

Per adaBTTLS: Ecco diciamo che non avendo una solida base di teoria ragiono un po' a braccio ma secondo me l'approssimazione è valida perchè i problemi della convergenza dell'integrale si hanno nell'intorno di $0$ e non in tutto l'intervallo, mi spiego meglio, se dovessi calcolare il valore esatto dell'integrale nell'i ntervallo $[0,2]$ allora è vero l'approssimazione non varrebbe o perlomeno sarebbe troppo grezza ma a noi interessa sapere se l'integrale converge o meno e quindi si studia l'integranda nei punti ''spiacevoli'' che in questo caso sono solo $x=0$ e nell'intorno di tale punto l'approssimazione è corretta.

Intanto continuo nella carrellata sperando in qualche vostro commento^^

$\int_(2)^(+\infty)\frac(1+\cos^(2) x)(x\ln^(3) x)\ dx$

Ecco questo al momento non saprei come fare...mi viene in mente solo di maggiorare il numeratore con $2$...ma di sotto bho..

[adaBTTLS1]

rispondo alla precisazione: sì, se si tratta solo di studiare la sommabilità e non del calcolo dell'integrale, l'approssimazione va bene. è solo una questione formale, nel senso che non si possono uguagliare i due integrali.

qianto all'altro quesito, a livello teorico sembrebbe semplice, ma non so come tu debba affrontare il problema.
ti scrivo solo quello che io intendo per "semplice in teoria":

il numeratore è comunque finito, anche se il limite non esiste.
la presenza di log al cubo insieme con la x al denominatore ti garantisce che il grado del denominatore è maggiore di 1.
quindi la funzione è infinitesima di ordine superiore ad 1, cioè se la confronti con 1/x è infinitesima di ordine superiore.
però non è altrettanto semplice dal punto di vista pratico, perché se la confronti con $1/(x^(alpha))$, con qualsiasi $alpha>1$, viene infinitesima di ordine inferiore...
ciao.

[in_me_i_trust]

Comunque mi hai fatto venire un idea che forse funziona! Se si pone $\ln x=t\Rightarrow x=e^(t)\Rightarrow dx=e^(t)dt$, l'integrale diventa

$\int_(\ln 2)^(+\infty)\frac(2)(t^(3))\ dt$

che questo sappiamo convergere quindi converge anche l'originale

[adaBTTLS1]

... mi fa piacere ...