Convergenza integrale improprio
Ciao a tutti, volevo un aiuto su questo esercizio. Dato questo integrale da 0 a +infinito di $log (x^2+1)/((e^x)-1)$ Vorrei sapere se converge o diverge. Ho diviso l'integrale in due integrali uno da 0 a 1 e l'altro tra 0 a più infinito e il primo viene integrale tra 0 e 1 di $x^2/x=x$ . quindi presuppongo che converga. Però non riesco ad andare avanti. Qualcuno mi può aiutare? Grazie.
Risposte
abbiamo:
$int_(0)^(+oo)(log(1+x^2))/(e^x-1)$
in un intorno di 0 l'integrando è asintotico a $x^2 / x =x$ che quindi converge per confronto con l'integrale fondamentale
in un intorno di $oo$ è invece asintotica a $(2logx)/e^x$ che converge grazie all'esponenziale.
$int_(0)^(+oo)(log(1+x^2))/(e^x-1)$
in un intorno di 0 l'integrando è asintotico a $x^2 / x =x$ che quindi converge per confronto con l'integrale fondamentale
in un intorno di $oo$ è invece asintotica a $(2logx)/e^x$ che converge grazie all'esponenziale.
Ciao Gentile Chiara,
cooper ti ha già risposto correttamente, per cui non mi dilungo. Segnalo solamente che per l'integrale proposto è possibile determinare abbastanza facilmente una limitazione superiore osservando che $ \AA x in [0, +\infty) $ si ha $ log(1 + x^2) \le x $, per cui si ha:
$ int_{0}^{+\infty} (log(1+x^2))/(e^x - 1) dx \le int_{0}^{+\infty} x/(e^x-1) dx = pi^2/6 $
Qualora fossi interessata al dettaglio dei passaggi per arrivare al risultato indicato fammi sapere...
cooper ti ha già risposto correttamente, per cui non mi dilungo. Segnalo solamente che per l'integrale proposto è possibile determinare abbastanza facilmente una limitazione superiore osservando che $ \AA x in [0, +\infty) $ si ha $ log(1 + x^2) \le x $, per cui si ha:
$ int_{0}^{+\infty} (log(1+x^2))/(e^x - 1) dx \le int_{0}^{+\infty} x/(e^x-1) dx = pi^2/6 $
Qualora fossi interessata al dettaglio dei passaggi per arrivare al risultato indicato fammi sapere...
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