Convergenza integrale improprio
Buon pomeriggio a tutti, avrei dei problemi nello studio della convergenza di questo integrale improprio:
$\int_0^1x*\sqrt{2/x+2}dx$
E' ovviamente improprio in zero, non so bene però come studiarne la convergenza. Ho provato a fare $x*\sqrt{(2+2x)/x}$, dunque $x*\sqrt{2+2x}/\sqrt{x}$. A questo punto ho semplificato $x/\sqrt{x} = x^(1/2) = \sqrt{x}$ ed ho quindi ottenuto $\sqrt{x}*\sqrt{2+2x} = \sqrt{2}*\sqrt{x+x^2}$.
Calcolando allora
$\lim_{x \to 0+}\sqrt{2}*\sqrt{x+x^2} = 0$
E quindi l'integrale converge?
Non sono per niente sicuro di questa cosa.. Quindi chiedo aiuto qui!
$\int_0^1x*\sqrt{2/x+2}dx$
E' ovviamente improprio in zero, non so bene però come studiarne la convergenza. Ho provato a fare $x*\sqrt{(2+2x)/x}$, dunque $x*\sqrt{2+2x}/\sqrt{x}$. A questo punto ho semplificato $x/\sqrt{x} = x^(1/2) = \sqrt{x}$ ed ho quindi ottenuto $\sqrt{x}*\sqrt{2+2x} = \sqrt{2}*\sqrt{x+x^2}$.
Calcolando allora
$\lim_{x \to 0+}\sqrt{2}*\sqrt{x+x^2} = 0$
E quindi l'integrale converge?
Non sono per niente sicuro di questa cosa.. Quindi chiedo aiuto qui!
Risposte
Non è neanche un integrale improprio...
Ciao blak24,
Per convergere, converge. Diciamo che per vederlo avrei semplicemente portato la $x$ sotto la radice quadrata e così facendo avresti visto che ha ragione chi mi ha preceduto nella risposta. Più complicato è vedere qual è il risultato:
$\int_0^1 x \sqrt{2/x + 2} dx = 3/2 - frac{sqrt{2}}{4}sinh^{-1}(1)$ [tex]\simeq 1,1884[/tex]
ciò che si può trovare calcolandosi l'integrale indefinito (cosa fattibile, ma non banalissima...
).
Per convergere, converge. Diciamo che per vederlo avrei semplicemente portato la $x$ sotto la radice quadrata e così facendo avresti visto che ha ragione chi mi ha preceduto nella risposta. Più complicato è vedere qual è il risultato:
$\int_0^1 x \sqrt{2/x + 2} dx = 3/2 - frac{sqrt{2}}{4}sinh^{-1}(1)$ [tex]\simeq 1,1884[/tex]
ciò che si può trovare calcolandosi l'integrale indefinito (cosa fattibile, ma non banalissima...
).
Si beh, portando la x sotto radice alla fine usciva la stessa cosa che è uscita a me, l'integrale di fatto non era improprio ed era possibile calcolarlo.. E se avessi voluto calcolarlo una possibile soluzione quale sarebbe stata, per fare uscire quel $sinh$?
Ciao blak24,
Come ti dicevo, calcolare l'integrale indefinito è fattibile, ma non banalissimo... Ora ho il tempo solo di accennarti la soluzione, poi magari stasera se riesco posto qualcosa di più completo.
$\int x sqrt{2/x + 2} dx = sqrt{2}\int sqrt{x^2 + x} dx = sqrt{2}\int sqrt{(x + 1/2)^2 - (1/2)^2} dx $
posto $t := x + 1/2 $...
Come ti dicevo, calcolare l'integrale indefinito è fattibile, ma non banalissimo... Ora ho il tempo solo di accennarti la soluzione, poi magari stasera se riesco posto qualcosa di più completo.
$\int x sqrt{2/x + 2} dx = sqrt{2}\int sqrt{x^2 + x} dx = sqrt{2}\int sqrt{(x + 1/2)^2 - (1/2)^2} dx $
posto $t := x + 1/2 $...
... si ottiene:
$sqrt{2}\int sqrt{t^2 - (1/2)^2} dt $
Quest'ultimo è un integrale del tipo seguente:
$\int sqrt{t^2 - a^2} dt $
con $a = 1/2 $. Tale integrale è già stato ampiamente trattato, ad esempio qui. Si ha:
$\int sqrt{t^2 - a^2} dt = \frac{t}{2}\sqrt{t^2 - a^2} - frac{a^2}{2} \ln (\sqrt{t^2 - a^2} + t) + c$
Ricordando ora che $t = x + 1/2 $ e che $a = 1/2 $, in definitiva si ottiene:
$\int sqrt{x^2 + x} dx = \frac{x + 1/2}{2}\sqrt{x^2 + x} - frac{1}{8} \ln (\sqrt{x^2 + x} + x + 1/2) + c =$
$ = \frac{2x + 1}{4}\sqrt{x^2 + x} - frac{1}{8} \ln (2\sqrt{x^2 + x} + 2x + 1) + k$
Quindi, tornando all'integrale iniziale proposto, si ha:
$ \int x sqrt{2/x + 2} dx = sqrt{2}\int sqrt{x^2 + x} dx = \frac{2}{4\sqrt{2}}(2x + 1)\sqrt{x^2 + x} - frac{1}{4\sqrt{2}} \ln (2\sqrt{x^2 + x} + 2x + 1) + c$
Passando all'integrale definito, si ha:
$\int_0^1 x \sqrt{2/x + 2} dx = [\frac{2}{4\sqrt{2}}(2x + 1)\sqrt{x^2 + x} - frac{1}{4\sqrt{2}} \ln (2\sqrt{x^2 + x} + 2x + 1)]_0^1 = $
$ = 3/2 - frac{1}{4\sqrt{2}} \ln (2\sqrt{2} + 3) $ [tex]\simeq 1,1884[/tex]
$sqrt{2}\int sqrt{t^2 - (1/2)^2} dt $
Quest'ultimo è un integrale del tipo seguente:
$\int sqrt{t^2 - a^2} dt $
con $a = 1/2 $. Tale integrale è già stato ampiamente trattato, ad esempio qui. Si ha:
$\int sqrt{t^2 - a^2} dt = \frac{t}{2}\sqrt{t^2 - a^2} - frac{a^2}{2} \ln (\sqrt{t^2 - a^2} + t) + c$
Ricordando ora che $t = x + 1/2 $ e che $a = 1/2 $, in definitiva si ottiene:
$\int sqrt{x^2 + x} dx = \frac{x + 1/2}{2}\sqrt{x^2 + x} - frac{1}{8} \ln (\sqrt{x^2 + x} + x + 1/2) + c =$
$ = \frac{2x + 1}{4}\sqrt{x^2 + x} - frac{1}{8} \ln (2\sqrt{x^2 + x} + 2x + 1) + k$
Quindi, tornando all'integrale iniziale proposto, si ha:
$ \int x sqrt{2/x + 2} dx = sqrt{2}\int sqrt{x^2 + x} dx = \frac{2}{4\sqrt{2}}(2x + 1)\sqrt{x^2 + x} - frac{1}{4\sqrt{2}} \ln (2\sqrt{x^2 + x} + 2x + 1) + c$
Passando all'integrale definito, si ha:
$\int_0^1 x \sqrt{2/x + 2} dx = [\frac{2}{4\sqrt{2}}(2x + 1)\sqrt{x^2 + x} - frac{1}{4\sqrt{2}} \ln (2\sqrt{x^2 + x} + 2x + 1)]_0^1 = $
$ = 3/2 - frac{1}{4\sqrt{2}} \ln (2\sqrt{2} + 3) $ [tex]\simeq 1,1884[/tex]
Grazie mille davvero! Gentilissimo 
Tutto chiaro
Tutto chiaro
Prego!
In realtà mi sono accorto di non aver risposto alla tua domanda sul seno iperbolico, ma si ha:
$\sinh^{- 1}y = \ln(y + \sqrt{y^2 + 1}) $
Puoi trovare la dimostrazione ad esempio qui.
Dunque si ha:
$3/2 - frac{1}{4\sqrt{2}} \ln (2\sqrt{2} + 3) = 3/2 - frac{1}{4\sqrt{2}} \ln (2 + 2\sqrt{2} + 1) = 3/2 - frac{1}{4\sqrt{2}} \ln (\sqrt{2} + 1)^2 = $
$= 3/2 - frac{1}{2\sqrt{2}} \ln (1 + \sqrt{2}) = 3/2 - frac{sqrt{2}}{4}sinh^{-1}(1)$
per la relazione di cui sopra calcolata nel caso particolare $y = 1$.
In realtà mi sono accorto di non aver risposto alla tua domanda sul seno iperbolico, ma si ha:
$\sinh^{- 1}y = \ln(y + \sqrt{y^2 + 1}) $
Puoi trovare la dimostrazione ad esempio qui.
Dunque si ha:
$3/2 - frac{1}{4\sqrt{2}} \ln (2\sqrt{2} + 3) = 3/2 - frac{1}{4\sqrt{2}} \ln (2 + 2\sqrt{2} + 1) = 3/2 - frac{1}{4\sqrt{2}} \ln (\sqrt{2} + 1)^2 = $
$= 3/2 - frac{1}{2\sqrt{2}} \ln (1 + \sqrt{2}) = 3/2 - frac{sqrt{2}}{4}sinh^{-1}(1)$
per la relazione di cui sopra calcolata nel caso particolare $y = 1$.
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