Convergenza integrale improprio

[giuli910]

Salve a tutti !
il mio libro così recita: Consideriamo integrali della forma $I_2 = int_(-oo )^(+oo ) R(x) dx $ con R(x) funzione razionale di x senza singolarità per x reale. Affinchè tale integrale risulti convergente si deve avere $ lim_(|x| -> oo ) x\cdot R(x) =0 $
Non riesco a capire perchè l'integrale converge sotto l'ultima condizione esposta.
Grazie per il chiarimento.

[donald_zeka]

Significa che $R(x)$ è un infinitesimo di ordine superiore a $1/x$ all'infinito

[giuli910]

e perchè questo mi dovrebbe garantire la convergenza dell'integrale ?

[otta96]

In generale, quell'informazione non è sufficiente per concludere che la funzione è integrabile su tutto $RR$, ma te sai che quella è una funzione razionale, quindi se applichi il criterio del confronto asintotico (puoi farlo perché almeno definitivamente la funzione ha segno costante), e raccogli la potenza massima possibile della x sia a numeratore che a denominatore, dalla condizione che dice il tuo libro, puoi dedurre che semplificando ti rimane una potenza della x al denominatore con esponente almeno 2, quindi l'integrale converge. Questo discorso lo puoi fare sia a + che a - infinito.

[donald_zeka]

Perché è un teorema, se il tuo libro non lo dimostra, cambia libro...