Convergenza integrale improprio
Dire per quali $alpha$ converge senza calcolarlo.
$\int_{0}^{1} x^(alpha) / (1-cosx) dx$
Procedo applicando i criteri di convergenza delle serie di potenza?
Grazie e buona giornata.
$\int_{0}^{1} x^(alpha) / (1-cosx) dx$
Procedo applicando i criteri di convergenza delle serie di potenza?
Grazie e buona giornata.
Risposte
A quanto pare devo studiarne l'andamento agli estremi:
$lim_(n->0^+) x^a/(1-cosx)$
$lim_(n->1) x^a/(1-cosx)$
Per il primo ho utilizzato questo approccio:
$lim_(n->0^+) x^a/(1-cosx) ~ x^a /1 = 1/x^-a$
$-a<1 -> a>-1$ converge
$a<=-1$ diverge
Può andare?
$lim_(n->0^+) x^a/(1-cosx)$
$lim_(n->1) x^a/(1-cosx)$
Per il primo ho utilizzato questo approccio:
$lim_(n->0^+) x^a/(1-cosx) ~ x^a /1 = 1/x^-a$
$-a<1 -> a>-1$ converge
$a<=-1$ diverge
Può andare?
No, quella stima asintotica non è corretta; oltretutto, hai scritto il limite per $n \to 0$ invece che per $x$.
Per studiare la convergenza dell'integrale improprio
\[ \int_{0}^{1} \frac{x^{\alpha}}{1 - \cos (x)} dx \]
che è improprio soltanto nell'estremo $0$, poichè in $x = 1$ la funzione è definita, basta notare che
\[ \frac{x^{\alpha}}{1 - \cos (x)} = \frac{x^{2}}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1}{x^{- \alpha + 2}} \sim \frac{1}{x^{- \alpha + 2}}, \ x \to 0 \]
Infatti
\[ \lim_{x \to 0} {\frac{ \frac{x^{2}}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1}{\cancel{x^{- \alpha + 2}}}}{\frac{1}{\cancel{x^{-\alpha+2}}}}} = 2 \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \]
Quindi, per il criterio del confronto asintotico, l'integrale improprio
\[ \int_{0}^{1} \frac{x^{\alpha}}{1 - \cos (x)} dx \]
converge $\iff$ converge l'integrale improprio notevole
\[ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{- \alpha + 2}} dx \]
cioè $\iff$ $- \alpha + 2 < 1 \iff \alpha > 1 $.
Per studiare la convergenza dell'integrale improprio
\[ \int_{0}^{1} \frac{x^{\alpha}}{1 - \cos (x)} dx \]
che è improprio soltanto nell'estremo $0$, poichè in $x = 1$ la funzione è definita, basta notare che
\[ \frac{x^{\alpha}}{1 - \cos (x)} = \frac{x^{2}}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1}{x^{- \alpha + 2}} \sim \frac{1}{x^{- \alpha + 2}}, \ x \to 0 \]
Infatti
\[ \lim_{x \to 0} {\frac{ \frac{x^{2}}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1}{\cancel{x^{- \alpha + 2}}}}{\frac{1}{\cancel{x^{-\alpha+2}}}}} = 2 \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \]
Quindi, per il criterio del confronto asintotico, l'integrale improprio
\[ \int_{0}^{1} \frac{x^{\alpha}}{1 - \cos (x)} dx \]
converge $\iff$ converge l'integrale improprio notevole
\[ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{- \alpha + 2}} dx \]
cioè $\iff$ $- \alpha + 2 < 1 \iff \alpha > 1 $.
Ti ringrazio, però non ho capito il passaggio da:
$x^(alpha)/(1-cosx) = x^2/(1-cosx) * 1/x^(-alpha +2)$
$x^(alpha)/(1-cosx) = x^2/(1-cosx) * 1/x^(-alpha +2)$
Dalle proprietà delle potenze:
\[ a^b \cdot a^c = a^{b + c} \]
\[ a^t = \frac{1}{a^{-t}} \]
Quindi
\[ x^{\alpha} = x^2 \cdot x^{\alpha - 2} = \frac{x^2}{x^{-\alpha +2}} \]
Cosa c'è di assurdo?
\[ a^b \cdot a^c = a^{b + c} \]
\[ a^t = \frac{1}{a^{-t}} \]
Quindi
\[ x^{\alpha} = x^2 \cdot x^{\alpha - 2} = \frac{x^2}{x^{-\alpha +2}} \]
Cosa c'è di assurdo?
Si ma perchè moltiplicare e dividere per $x^2$, cosa me lo dovrebbe far capire?
Si mira ad un confronto asintotico per $x \to 0$, quindi si cerca di togliere di mezzo $ 1 - \cos (x) $. Come sappiamo,
\[ {1 - \cos (x)} \sim \frac{x^2}{2}, \ x \to 0 \]
Quindi cerchiamo di ottenere un $x^2$ al numeratore.
\[ {1 - \cos (x)} \sim \frac{x^2}{2}, \ x \to 0 \]
Quindi cerchiamo di ottenere un $x^2$ al numeratore.
Grazie mille è chiarissimo.
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