Convergenza Integrale improprio
Ciao ragazzi, come da titolo, ho dei dubbi su due integrali impropri . Questi sono :
1) ( arctan ( 1-(x^2) )^(1/2) ) / (1-(x^2)) con estremo di integrazione inferiore = 0 e estremo di integrazione superiore= 1
2) sinh(x) / (1 + (e^x) ) con estremo di integrazione inferiore = 1 e estremo di integrazione superiore= + infinito
Caso 1)
Il primo integrale improprio l'ho risolto nella seguente maniera: controllo l'intervallo d'integrazione e mi accorgo che l'estremo di integrazione superiore è quello che mi fornisce più problemi. Quindi lavoro in quell'intervallo, ragionando sulla funzione. L'arctan presente un argomento che va a zero pertanto, per McLaurin posso riscrivere il numerato come ( 1-(x^2) )^(1/2).
Questo mi porta ad avere al numeratore e al denominatore due funzioni uguale che differiscono per l'esponente. Infatti, la funzione ora su cui lavoro sarà: ( 1-(x^2) )^(1/2) / ( 1-(x^2) ) .
Mi riconduco a uno degli integrali impropri notevoli della forma (b-x)^(alpha) con intervallo di integrazione a e b.
Giungo, così, alla funzione finale nella forma : 1/ (1-(x^2))^ (1/2).
L'unico problema è: posso rifarmi all'integrale improprio notevole citato anche se ho un x elevato a un certo esponente?
Se si, l'integrale improprio converge ed è corretto(risultato confermato anche dal libro).
Caso 2 )
Come mi consigliate di partire?
Ho provato a sostituire al sinh (x) la sua forma esponenziale ma niente.
Grazie mille a coloro che mi risponderanno e scusate la lunghezza del testo !
1) ( arctan ( 1-(x^2) )^(1/2) ) / (1-(x^2)) con estremo di integrazione inferiore = 0 e estremo di integrazione superiore= 1
2) sinh(x) / (1 + (e^x) ) con estremo di integrazione inferiore = 1 e estremo di integrazione superiore= + infinito
Caso 1)
Il primo integrale improprio l'ho risolto nella seguente maniera: controllo l'intervallo d'integrazione e mi accorgo che l'estremo di integrazione superiore è quello che mi fornisce più problemi. Quindi lavoro in quell'intervallo, ragionando sulla funzione. L'arctan presente un argomento che va a zero pertanto, per McLaurin posso riscrivere il numerato come ( 1-(x^2) )^(1/2).
Questo mi porta ad avere al numeratore e al denominatore due funzioni uguale che differiscono per l'esponente. Infatti, la funzione ora su cui lavoro sarà: ( 1-(x^2) )^(1/2) / ( 1-(x^2) ) .
Mi riconduco a uno degli integrali impropri notevoli della forma (b-x)^(alpha) con intervallo di integrazione a e b.
Giungo, così, alla funzione finale nella forma : 1/ (1-(x^2))^ (1/2).
L'unico problema è: posso rifarmi all'integrale improprio notevole citato anche se ho un x elevato a un certo esponente?
Se si, l'integrale improprio converge ed è corretto(risultato confermato anche dal libro).
Caso 2 )
Come mi consigliate di partire?
Ho provato a sostituire al sinh (x) la sua forma esponenziale ma niente.
Grazie mille a coloro che mi risponderanno e scusate la lunghezza del testo !
Risposte
Per il primo, se scrivi $1-x^2$ come $(1+x)(1-x)$ ti accorgi che $1+x$ non influisce sulla convergenza dell'integrale.
Per il secondo se scrivi il seno iperbolico in forma esponenziale e al denominatore butti via l'$1$ (dato che il denominatore è asintotico a $e^x$) dovrebbe essere evidente come risolverlo.
N.B. E' stato abbastanza fastidioso leggere il tuo messaggio dato che non hai usato il linguaggio latex. Tra l'altro al 28-esimo messaggio il regolamento non te lo permette. Se dovessi porre un'altra domanda senza usarlo, non stupirti se non ricevi una risposta!!
Per il secondo se scrivi il seno iperbolico in forma esponenziale e al denominatore butti via l'$1$ (dato che il denominatore è asintotico a $e^x$) dovrebbe essere evidente come risolverlo.
N.B. E' stato abbastanza fastidioso leggere il tuo messaggio dato che non hai usato il linguaggio latex. Tra l'altro al 28-esimo messaggio il regolamento non te lo permette. Se dovessi porre un'altra domanda senza usarlo, non stupirti se non ricevi una risposta!!
"billyballo2123":
N.B. E' stato abbastanza fastidioso leggere il tuo messaggio dato che non hai usato il linguaggio latex. Tra l'altro al 28-esimo messaggio il regolamento non te lo permette. Se dovessi porre un'altra domanda senza usarlo, non stupirti se non ricevi una risposta!!
tra l'altro la maggior parte delle volte ti basta mette $ prima e dopo la formula, e se hai difficoltà, apri l'editor completo e puoi mettere i simboli che ti servono e vedere mentro lo scrivi come apparirà, se scrivi in "inserisci formula" che trovi nell editor completo
Perfetto, grazie mille a entrambi. Provvederò a fare ciò che mi avete consigliato.
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