Convergenza integrale improprio
Ciao. Ho questo integrale: devo stabilire per quale $a in ]- \infty, 0[ uu ]0, + \infty[$ l'integrale è convergente:
$\int_{0}^{1} 1/{(1+2x)^a-(1+x)^a}$
Non so proprio da dove iniziare. Sono bloccato...qualcuno è in grado di darmi una mano?
$\int_{0}^{1} 1/{(1+2x)^a-(1+x)^a}$
Non so proprio da dove iniziare. Sono bloccato...qualcuno è in grado di darmi una mano?
Risposte
Per prima cosa, per quali valori di $x\in[0,1]$ la funzione integranda presenta problemi?
La funzione integranda presenta problemi per $x=0$, a denominatore esce uguale a $0$ e fa tendere il tutto a $\ infty$.
Ok, Conisci dei teoremi sull'esistenza degli integrali impropri? Condizioni varie affinché una generica funzione definita anche su punti di non continuità si possa integrare?
Si però non riesco ad applicarli in alcun modo...in altri casi procedevo con un confronto asintotico e mi riconducevo ad un integrale improprio notevole...ma qui non ho proprio idea di come andare avanti...
Dunque, come dicevi il problema si presenta quando $x=0$. Iniziamo a vedere cosa succede se $a>0$: in tal caso effettivamente l'unico caso in cui il denominatore si annulla si ha quando $(1+2x)^a=(1+x)^a$ e cioè quando le basi sono uguali, e ciò avviene solo per $x=0$. Per capire come confrontare questa funzione in forma asintotica, osserva che vale il seguente limite notevole:
$$\lim_{t\to 0}\frac{(1+t)^\alpha-1}{t}=\alpha\ \Rightarrow\ (1+t)^\alpha\sim 1+\alpha t$$
pertanto possiamo scrivere, per la funzione integranda $f(x)$ la seguente stima asintotica
$$f(x)\sim\frac{1}{1+2ax-1-ax}=\frac{1}{ax}$$
Dal momento che la funzione $1/x$ non è integrabile in un intorno dell'origine, la $f(x)$ non è integrabile quando $a>0$.
Vediamo ora se $a>0$ cosa accade. Poniamo $b=-a>0$ e riscriviamo l'integranda:
$$f(x)=\frac{1}{\frac{1}{(1+2x)^b}-\frac{1}{(1+x)^b}}=\frac{(1+2x)^b(1+x)^b}{(1+x)^b-(1+2x)^b}$$
Di nuovo i problemi si presentano per $x=0$ e procedendo come prima, si ha
$$f(x)\sim\frac{(1+2bx)(1+bx)}{1+bx-1-2bx}\sim -\frac{1}{bx}$$
per cui, di nuovo, la funzione risulta non integrabile.
$$\lim_{t\to 0}\frac{(1+t)^\alpha-1}{t}=\alpha\ \Rightarrow\ (1+t)^\alpha\sim 1+\alpha t$$
pertanto possiamo scrivere, per la funzione integranda $f(x)$ la seguente stima asintotica
$$f(x)\sim\frac{1}{1+2ax-1-ax}=\frac{1}{ax}$$
Dal momento che la funzione $1/x$ non è integrabile in un intorno dell'origine, la $f(x)$ non è integrabile quando $a>0$.
Vediamo ora se $a>0$ cosa accade. Poniamo $b=-a>0$ e riscriviamo l'integranda:
$$f(x)=\frac{1}{\frac{1}{(1+2x)^b}-\frac{1}{(1+x)^b}}=\frac{(1+2x)^b(1+x)^b}{(1+x)^b-(1+2x)^b}$$
Di nuovo i problemi si presentano per $x=0$ e procedendo come prima, si ha
$$f(x)\sim\frac{(1+2bx)(1+bx)}{1+bx-1-2bx}\sim -\frac{1}{bx}$$
per cui, di nuovo, la funzione risulta non integrabile.
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