Convergenza integrale improprio

[gliupun44]

Per quale valore del parametro reale alfa l'integrale improprio converge?

Non riesco ricondurmi alla forma 1/x^a , e non riesco a capire in che modo si può risolvere. AIUTO

[Noisemaker]

Qui puoi trovare una guida su come scrivere le formule: come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html

\begin{align}
\int_{2}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x+2}(x-2)^{3\alpha}}
\end{align}

che procedimento hai usato?

[gliupun44]

Allora io, non sapendo da che parte iniziare, ho provato a separare il denominatore:
$ int_(2)^(oo ) (x+2)^(1/2) dx $
quindi verrebbe che questo non converge in quanto 1/2 è minore di un

int_(2)^(oo ) (x-2)^(3a) dx $ int_(2)^(oo ) (x-2)^(3a) dx $
questo invece doverebbe convergere per a>1/3 se non sbaglio.

Però poi mi è anche venuto un altro dubbio: la formula è --> $ int_(1)^(oo ) 1/x^a dx $ converge per a>1
Però qui l'integrale parte da 2 e non da 1, è uguale?? MMM , credo di fare un po' di confusione.. Non so se puoi chiarirmi bene come si svolge questo esercizio

[Obidream]

Uhm perché non provi ad osservare il comportamento dell'integranda per $x->2$ e poi per $x->+oo$, visto che sono gli unici 2 punti in cui è necessario controllare la convergenza in questo caso?
Ad esempio $1/(sqrt(x+2)(x-2)^(3\alpha)) \sim 1/(2(x-2)^(\3alpha))$ per $x->2$ quindi converge per $3\alpha<1$ se non ho fatto qualche cavolata...
Ora lascio a te il caso in cui $x->+oo$

[gliupun44]

ma perchè 3a<1 e non maggiore?! Comunque grazie mille, gentilissimo!!

[Noisemaker]

allora la prima cosa da fare difronte ad un integrale, improprio, è capire come si comporta la funzione integranda nell'intervallo di integrazione, che in questo caso è $(2,\+infty)$ in quanto sai che per essere integrabile una funzione deve essere continua nell'intervallo in cui si vuole calcolare l'integrale; si osserva allora che
\begin{align} f(x):=\frac{1}{\sqrt{x+2}(x-2)^{3\alpha}} \end{align}
è definita per $x> -2, x\ne2$ e dunque nell'intervallo $(2,\+infty)$ non è definita in entrambi gli estremi di integrazione, e dunque l'integrale in tale intervallo risulta improrpio in $x=2$ e a $+\infty;$ inoltre la funzione integranda risulta positiva per ogni valore di di $x\in(2,\+infty) $ e dunqne è possibile considerare il comportamento asintotico della fuznione integranda quando $x$ tende agli estremi dell'intervallo di integrazione.
Consideriamo i due casi:

$x\to2^+$
\begin{align} \frac{1}{\sqrt{x+2}(x-2)^{3\alpha}}= \frac{1}{ (x+2)^{\frac{1}{2}}(x-2)^{3\alpha}}\sim \frac{1}{ C\cdot (x-2)^{3\alpha}}\to\mbox{converge se } \,\,\,3\alpha<1,\,\,\,\alpha<\frac{1}{3} \end{align}

dunque l'integrale risulta convergente, per $x\to2^+$, per $\alpha<\frac{1}{3}.$ Consideriamo il secondo caso:

$x\to+\infty$

\begin{align} \frac{1}{\sqrt{x+2}(x-2)^{3\alpha}}= \frac{1}{ (x+2)^{\frac{1}{2}}(x-2)^{3\alpha}}\sim \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}x^{3\alpha}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{2}+3\alpha }} \to\mbox{converge se } \,\,\,\frac{1}{2}+3\alpha>1,\,\,\,\alpha>\frac{1}{6} \end{align}

dunque l'integrale risulta convergente, per $x\to+\infty$, per $\alpha>\frac{1}{6}.$ Allora possiamo concludere che nell'intervallo $x\in(2,\+infty) $ la funzione risulta integrabile, o l'integrale risulta convergente per i valori di $\alpha$ tali che $\frac{1}{6}< \alpha<\frac{1}{3}$

[Noisemaker]

"gliupun":
Però poi mi è anche venuto un altro dubbio: la formula è --> $ int_(1)^(oo ) 1/x^a dx $ converge per a>1
Però qui l'integrale parte da 2 e non da 1, è uguale?? MMM , credo di fare un po' di confusione.. Non so se puoi chiarirmi bene come si svolge questo esercizio

il punto è che una funzione continua è certamente integrabile, quindi nel tuo caso,
\[\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^a}\]

è sicuramente integrabile in $x=1$ poichè la funzione $\frac{1}{x^a}$ è definita in $x=1;$ quindi anche l'integrale

\[\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x^a},\qquad\int_{3}^{+\infty}\frac{1}{x^a},\qquad\int_{10000}^{+\infty}\frac{1}{x^a} \]

è sicuramente convergente in $x=2,x=3,x=10000,....;$ il problema nei casi precedenti, sta solo a $+\infty,$ dove puoi considerare se la funzione è integrabile in senso improprio, e come sai quell'integrale converge se $\alpha>1.$

[Noisemaker]

"gliupun":ma perchè 3a<1 e non maggiore?! Comunque grazie mille, gentilissimo!!

anche qui bisogna stare attenti, nel senso che se stai facendo un confronto "al finito" . Consideriamo il caso che hai citato prima

\[ \int_0^1 \frac{1}{ x^{\alpha}},\,\,\,\alpha>0\]

Osserviamo subito che la funzione integranda $f(x)= \frac{1}{ x^{\alpha}}$ è definita positiva per tutti i valori di $x$ tali che $ x\ne0,$ perchè stiamo considerando un intervallo di integrazione in cui $x>0,$ altrimenti sarebbe stato necessario considerare il valore assoluto di $x$ in quanto non è possibile eseguire l'elevamento a potenza reale di un numero negativo; allora avremo:
\begin{align*}
\int _{0}^{1 }\frac{1}{ x^{\alpha}}\,\,dx&=\lim_{\varepsilon \to 0^+}\int _{\varepsilon}^{1} \frac{1}{ x^{\alpha}}\,\,dx=\begin{cases} \displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\ln x\right]_{\varepsilon}^{1}= \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\ln 1-\ln (\varepsilon) \right]=-(-\infty)=+\infty, & \mbox{se }\alpha=1 \\\\ \displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\frac{x^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]_{\varepsilon}^{1}=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\frac{1^{1-\alpha }}{1-\alpha }-\frac{(\varepsilon)^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]= \frac{1}{1-\alpha } & \mbox{se }\alpha<1 \\\\
\displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\frac{x^{1-\alpha }}{\alpha+1}\right]_{\varepsilon}^{1}=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\frac{1^{1-\alpha }}{1-\alpha }-\frac{(\varepsilon)^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]= +\infty & \mbox{se }\alpha>1
\end{cases}
\end{align*}
dunque la funzione $f(x)=\frac{1}{ x^{\alpha}}$ è integrabile in senso improprio in $[0,1]$ se $\alpha<1.$

[Camillo]

Ottima spiegazione Noisemaker, completa e chiara : ora gliupun non può più avere incertezze su come si affrontano e risolvono gli integrali impropri

[Noisemaker]

"Camillo":Ottima spiegazione Noisemaker, completa e chiara : ora gliupun non può più avere incertezze su come si affrontano e risolvono gli integrali impropri

Grazie! speriamo davvero che gli sia chiaro!

[Obidream]

Concordo, quella spiegazione è da vademecum sugli integrali impropri

[laska1]

Sublime

[laska1]

Buongiorno,
ne approfitto per esporvi in questo stesso post un dubbio che mi è sorto svolgendo l'esercizio che di seguito vi propongo:

Discutere il seguente integrale:
$\int_0^(+oo)(sin(1/sqrt(x)))/(1+sqrt(x)log^2x)dx$
A seguire il mio svolgimento (sarebbe il massimo se potessi avere correzioni e/o suggerimenti a tal proposito)

Posta $f(x)=(sin(1/sqrt(x)))/(1+sqrt(x)log^2x)$ osservo che $f(x)$ è definita per $x!=0$ e dunque l'integrale risulta improprio per $x=0$ e a $+oo$. Osservo inoltre che $f(x)$ è positiva $AA x \in (0,+oo)$ e dunque possiamo studiare il comportamento asintotico nei due casi:

$x->0^+$

$sin(1/sqrt(x))/(1+sqrt(x)log^2x)$ $\sim$ $1/sqrt(x)/((1+sqrt(x)*log^2x))$ $ =1/(sqrt(x)(1+sqrt(x)log^2x))$ $<=1/sqrt(x)$ converge dato che $1/2<1$

A tal proposito posso fare la maggiorazione per arrivare alla convergenza?

Proseguendo per

$x->+oo$

$sin(1/sqrt(x))/(1+sqrt(x)log^2x)\simsin(1/sqrt(x))/(sqrt(x)log^2x)$

a questo punto, non sapendo come procedere per giungere ad una situazione del tipo $1/x^alpha$, mi sono accorta che la funzione tende a zero, per x che tende a infinito...Posso allora concludere che l'integrale converge?
Ed inoltre facendo il rapporto tra la funzione assegnata e quella ricavata con la stima asintotica per x che tende a infinito, questo limite risulta essere 1...Il che potrebbe farmi concludere che l'integrale converge?

[Noisemaker]

scusa ma oggi non riesco a scrivere le formule!!! dammi un attimo!

[Noisemaker]

anzitutto la funzione interanda non è definita per $x\ne0$ ma per $x>0$ In più non mantiene segno costante, quindi siamo costretti all'utilizzo valore assoluto per considerare il comportamento asintotico; allora si ha che

$x\to0^+$


\begin{align}
0\le\left|\frac{\sin\frac{1}{\sqrt x}}{1+\sqrt x\ln^2x}\right|=\frac{\left|\sin\frac{1}{\sqrt x}\right|}{1+\sqrt x\ln^2x}\le\frac{1}{1+\sqrt x\ln^2x}\to 1
\end{align}

quindi l'integrale in $0$ non può convergere;

nel secondo caso il fatto che vada a zero la funzione integranda quando $x\to+\infty$ non ti autorizza a dire che l'integrale converge, perchè devi stabilire con che ordine, ovvero con che velocità, va a zero ....

[laska1]

sì, me ne sono resa conto pensando ad $1/x$!
E come procedo? Come posso confrontarla?

[Noisemaker]

considera il comportament asintotico del valore assoluto dell'integranda:

$x\to+\infty$
\begin{align} \left|\frac{\sin\frac{1}{\sqrt x}}{1+\sqrt x\ln^2x}\right|&\sim \frac{ \left|\sin\frac{1}{\sqrt x}\right|}{1+\sqrt x\ln^2x} \sim \frac{ \left| \frac{1}{\sqrt x}\right|}{ \sqrt x\ln^2x} = \frac{ \frac{1}{\sqrt x} }{ \sqrt x\ln^2x} \\
& = \frac{1 } { |x|\cdot \ln^2x}= \frac{1 } { x \cdot \ln^2x}\to \mbox{converge}
\end{align}

quindi l'integrale tra in $(0,+\infty)$ non converge

[ciampax]

"laska": Osservo inoltre che $f(x)$ è positiva $AA x \in (0,+oo)$ e dunque...

Falso: per $x\in(0,1)$ si ha $1/\sqrt{x}>1$ per cui $\sin(1/\sqrt{x})$ cambia segno. Il ragionamento giusto lo si fa passando ai valori assoluti come fatto da Noisemaker.

[laska1]

Grazie a tutti per le risposte, mi adopero adesso a leggere per bene e "risvolgere" l'integrale poiché mi son dovuta dedicare alla ripetizione della teoria
Scusate il ritardo

[laska1]

Ancora una domanda, il fatto che il limite per x che tende a zero da destra della funzione ricavata sia uno perché ci porta a concludere che l'integrale non converge? Per il criterio dell'ordine di infinito?

[laska1]

Inoltre posto ancora un altro caso:

Trovo un esercizio svolto dal mio professore:
La funzione assegnata è $f(x)=e^(1/x)/(x^2(1+e^(2/x)))$ e si chiede di discutere e calcolare l'integrale $\int_{-oo}^{+oo} f(x) dx$
Ora, dato che possiamo assegnare che la funzione è assegnata è pari ed $f \in C^0((-oo, 0)uu(0, +oo))$ basterà discutere e calcolare $\int_{0}^{+oo} f(x) dx$
Per fare ciò si procede con la stima asintotica e dai confronti alla fine si conclude che $1/(x^2e^(1/x))->0$ e da qui si conclude che l'integrale è integrabile in senso ordinario nell'intorno di 0.

Io non capisco perché arriva a tale conclusione...Ho provato a fare i conti e mi risulta divergente!