Convergenza integrale generalizzato
Pongo una domanda che a molti sembrerà stupida. Come si fa a dire se un integrale generalizzato converge o diverge? Per quanto ho capito esistono dei criteri, come quello del confronto asintotico, però ho difficoltà nel capire come applicarli. Ad esempio su un esercizio svolto mi si dice di calcolare la convergenza di questo integrale improprio:
$\int_-1^1 (1)/(sqrt(|x|)(x-4))dx =$
$= int_-1^0 (1)/(sqrt(-x)(x-4)) + int_0^1 (1)/(sqrt(x)(x-4))$
e mi si dice che $(1)/(sqrt|x|(x-4)) \sim (-1)/(4sqrt(|x|))$
come fa a dirlo? Cosa devo fare per vederla ridotta a quel modo? Ringrazio l'anima pia che mi risponderà.
$\int_-1^1 (1)/(sqrt(|x|)(x-4))dx =$
$= int_-1^0 (1)/(sqrt(-x)(x-4)) + int_0^1 (1)/(sqrt(x)(x-4))$
e mi si dice che $(1)/(sqrt|x|(x-4)) \sim (-1)/(4sqrt(|x|))$
come fa a dirlo? Cosa devo fare per vederla ridotta a quel modo? Ringrazio l'anima pia che mi risponderà.
Risposte
Hai provato ad applicare un criterio diverso?
Ad esempo il criterio dell' infinito, dato che in questo caso la funzione integranda è infinita per [tex]x \rightarrow 0[/tex]
Ad esempo il criterio dell' infinito, dato che in questo caso la funzione integranda è infinita per [tex]x \rightarrow 0[/tex]
Per prima cosa, devi determinare il dominio della funzione da integrare. Come puoi ben vedere il problema sta tutto nella presenza di quel $\sqrt{|x|}$ a denominatore che rende non definita la funzione in $x=0$. Per lavorarci, allora, occorre spezza l'integrale in due: così facendo, otterrai due integrali che presentano problemi solo in un estremo di integrazione. A questo punto, per risolvere il tuo problema devi usare il seguente risultato:
L'integrale [tex]$\int_{x_0}^a f(x)\ dx$[/tex], con [tex]$f(x)$[/tex] non definita in $x_0$ converge se e solo se [tex]$f(x)\sim\frac{1}{(x-x_0)^\alpha}$[/tex] con [tex]$\alpha<1$[/tex] nel punto $x_0$.
Come usare tale risultato? Molto semplice: quello che ti serve è usare il confronto asintotico, nel punto richiesto, per la tua funzione integranda: nel tuo caso hai
[tex]$\frac{1}{\sqrt{|x|}(x-4)}\sim\frac{1}{-4\sqrt{x}}$[/tex]
questo perché, per $x\to 0^+$ avrai $x-4\to -4$ e $\sqrt{|x|}\sim\sqrt{x}$ in quanto in un intorno destro di zero, avendosi $x\geq 0$ sarà per definizione $|x|=x$. A questo punto puoi affermare che
[tex]$\frac{1}{\sqrt{|x|}(x-4)}\sim -\frac{1}{4 x^{1/2}}$[/tex]
e quindi, essendo $\alpha=1/2<1$ segue che l'integrale (a destra dell'origine), converge. Allo stesso modo puoi concludere per quello a sinistra.
L'integrale [tex]$\int_{x_0}^a f(x)\ dx$[/tex], con [tex]$f(x)$[/tex] non definita in $x_0$ converge se e solo se [tex]$f(x)\sim\frac{1}{(x-x_0)^\alpha}$[/tex] con [tex]$\alpha<1$[/tex] nel punto $x_0$.
Come usare tale risultato? Molto semplice: quello che ti serve è usare il confronto asintotico, nel punto richiesto, per la tua funzione integranda: nel tuo caso hai
[tex]$\frac{1}{\sqrt{|x|}(x-4)}\sim\frac{1}{-4\sqrt{x}}$[/tex]
questo perché, per $x\to 0^+$ avrai $x-4\to -4$ e $\sqrt{|x|}\sim\sqrt{x}$ in quanto in un intorno destro di zero, avendosi $x\geq 0$ sarà per definizione $|x|=x$. A questo punto puoi affermare che
[tex]$\frac{1}{\sqrt{|x|}(x-4)}\sim -\frac{1}{4 x^{1/2}}$[/tex]
e quindi, essendo $\alpha=1/2<1$ segue che l'integrale (a destra dell'origine), converge. Allo stesso modo puoi concludere per quello a sinistra.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo