Convergenza integrale generalizzato
Sia $a > 0$ l'integrale generalizzato $int_0^1(1/(sqrt(x)*log(1+x^a)^2))dx$ per quali valori di $a$ converge?
Non riesco a capire come posso risolverlo.. potete darmi un'aiuto?
Non riesco a capire come posso risolverlo.. potete darmi un'aiuto?
Risposte
anzitutto considera la funzione integranda e vediamo dove risulta definta, per capire se nell'intervallo d'integrazione $[0;1]$ ci sono delle singolarità; poi cerca di capire se in tale intervallo la funzione è positiva per poter applicare il confronto asintotico.
Allora:
la funzione risulta definita in:
$x >= 0$ per la radice ed
$1+x^a > 0$ per l'argomento del logaritmo quindi $x^a > -1$
Non mi sembra ci siano singolarità nell'intervallo $[0;1]$ perché $x^a$ per x ed a positivo sarà sempre positivo
In tale intervallo la funzione è sempre positiva dato che la radice è sempre positiva e il quadrato di un numero (del logaritmo) anche.
Non capisco come procedere.. con cosa posso confrontare l'integrale?
la funzione risulta definita in:
$x >= 0$ per la radice ed
$1+x^a > 0$ per l'argomento del logaritmo quindi $x^a > -1$
Non mi sembra ci siano singolarità nell'intervallo $[0;1]$ perché $x^a$ per x ed a positivo sarà sempre positivo
In tale intervallo la funzione è sempre positiva dato che la radice è sempre positiva e il quadrato di un numero (del logaritmo) anche.
Non capisco come procedere.. con cosa posso confrontare l'integrale?
Il $"log"^2$ va come $x^{2a}$... 
A questo punto usa il confronto asintotico: quanto $x\to0$ la funzione integranda come si comporta?
Ci ho pensato ma non sono riuscito a capire bene evidentemente qualcosa
Perché? Probabilmente è qui il mistero dell'esercizio ma non capisco..
Quando x->0 il denominatore tende a 0 quindi la funzione integranda tende ad infinito
Non capisco come utilizzare il confronto asintotico, da quello che ho capito devo confrontare due successioni, la mia è una ma l'altra?
"Plepp":
Il $ "log"^2 $ va come $ x^{2a} $...
Perché? Probabilmente è qui il mistero dell'esercizio ma non capisco..
"Noisemaker":
A questo punto usa il confronto asintotico: quanto $ x\to0 $ la funzione integranda come si comporta?
Quando x->0 il denominatore tende a 0 quindi la funzione integranda tende ad infinito
Non capisco come utilizzare il confronto asintotico, da quello che ho capito devo confrontare due successioni, la mia è una ma l'altra?
Hai che, quando $x\to 0:$
\[\frac{1}{x^{1/2}\ln(1+x^a)^{2}}\sim\frac{1}{2x^{1/2}\cdot x^a }=\frac{1}{2x^{1/2+a} } ...\]
\[\frac{1}{x^{1/2}\ln(1+x^a)^{2}}\sim\frac{1}{2x^{1/2}\cdot x^a }=\frac{1}{2x^{1/2+a} } ...\]
"Noisemaker":
Hai che, quando $x\to 0:$
\[\frac{1}{x^{1/2}\ln(1+x^a)^{2}}\sim\frac{1}{2x^{1/2}\cdot x^a }=\frac{1}{2x^{1/2+a} } ...\]
Hai dimenticato un $2$ mi sembra, Noise
@Plepp :
forse non ho capito cos'ha scritto: è $\ln^2(1+x^a)$ o $\ln(1+x^a)^2$ ?
forse non ho capito cos'ha scritto: è $\ln^2(1+x^a)$ o $\ln(1+x^a)^2$ ?
Toh, forse sono io che ho letto male 
Tranq. è che di solito io preferisco scrivere le cose tipo $\sin^2 x, \ln^2 x$ anzichè come forse potrebbe risulatre piu chiaro, $ [\sin x ]^2, [\ln x ]^2.$
è $ \ln^2(1+x^a) $ dove il logaritmo è in base naturale,scusate se non era chiaro
Ok comunque fin qui ci sono, se non sbaglio il limite diventa: $ 1/(x^(1/2)*x^(2a)) $
Ok comunque fin qui ci sono, se non sbaglio il limite diventa: $ 1/(x^(1/2)*x^(2a)) $
@Plepp:
ecco appunto!!!
"tazzo":
è $ \ln^2(1+x^a) $ dove il logaritmo è in base naturale
ecco appunto!!!
"tazzo":
è $ \ln^2(1+x^a) $ dove il logaritmo è in base naturale,scusate se non era chiaro
Ok comunque fin qui ci sono, se non sbaglio il limite diventa: $ 1/(x^(1/2)*x^(2a)) $
si esatto quindi cone si conclude?
@Noise: Idem. E personalmente trovo pure più chiare e meno equivoche le $"sin"^2$, $"log"^2$ ecc.
EDIT: ah beh, allora ci avevo preso
EDIT: ah beh, allora ci avevo preso
l'integrale converge se $a>1/4$
mmmh... no aspettate qualcosa non torna.. la soluzione era $a > 1/2$...
mmmh... no aspettate qualcosa non torna.. la soluzione era $a > 1/2$...
devi porre $1/2+2a<1$...
Avevo posto $1/2 + 2a > 1$ perché la serie armonica generalizzata $1/n^a$ converge quando $a>1$, perché dovrei porre minore di uno?
perchè stai facendo un confroto "al finito" e non "all'infinito" ....
@tazzo: serie? non stavamo parlando di integrali?
Comunque, come diceva Noise, per $x\to 0$ la situazione che si ha "all'infinito" si capovolge (mi riferisco a $1/x^\alpha$)...
Comunque, come diceva Noise, per $x\to 0$ la situazione che si ha "all'infinito" si capovolge (mi riferisco a $1/x^\alpha$)...
Ok, ho studiato meglio gli integrali generalizzati e tutto torna
Grazie
Alla prossima
Grazie
Alla prossima
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