Convergenza Integrale Generalizzato
Buonasera, qualcuno potrebbe aiutarmi con questo integrale generalizzato.
integrate ( sen(x)/((x+1)^(3/2)-1)) from 0 to infinity.
Ho provato a spezzare l'integrale in due parti:integrate ( sen(x)/((x+1)^(3/2)-1)) from 0 to 1, applico il limite e mi viene 2/3.
integrate ( sen(x)/((x+1)^(3/2)-1)) from 1 to infinity, applico il limite e viene 0.
Converge? wolfram Alpha diche che diverge ma non capisco perché!!
Grazie
integrate ( sen(x)/((x+1)^(3/2)-1)) from 0 to infinity.
Ho provato a spezzare l'integrale in due parti:integrate ( sen(x)/((x+1)^(3/2)-1)) from 0 to 1, applico il limite e mi viene 2/3.
integrate ( sen(x)/((x+1)^(3/2)-1)) from 1 to infinity, applico il limite e viene 0.
Converge? wolfram Alpha diche che diverge ma non capisco perché!!
Grazie
Risposte
Ben venuto! ti ricordo le formule ...cosi si capisce meglio 
In ogni caso, anche a me converge, ti mostro cos'ho fatto:
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{(x+1)^{\frac{3}{2}}-1}
\end{align}
anzitutto bisogna osservare che l'integrale risulta improrio in entrambi gli estremi di integrazione; inoltre la funzione integranda non mantiene segno costante nell'intervallo di integrazione in quanto il seno a numeratore devia il segno della frazione, quanto $x\to+\infty;$ allora consideriamo la ivalore assoluto del termine generale possiamo considerare il confronto asintotico:
In ogni caso, anche a me converge, ti mostro cos'ho fatto:\begin{align}
\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{(x+1)^{\frac{3}{2}}-1}
\end{align}
anzitutto bisogna osservare che l'integrale risulta improrio in entrambi gli estremi di integrazione; inoltre la funzione integranda non mantiene segno costante nell'intervallo di integrazione in quanto il seno a numeratore devia il segno della frazione, quanto $x\to+\infty;$ allora consideriamo la ivalore assoluto del termine generale possiamo considerare il confronto asintotico:
[*:3cb0s7vi] se $x\to0:$ in questo caso, essendo in prossimità dello zero, il seno è senz'altro positivo e dunque la funzione integranda è positiva:
\begin{align}
\frac{\sin x}{(x+1)^{\frac{3}{2}}-1}\sim \frac{ x}{\frac{3}{2} x}=\frac{2}{3}
\end{align}
in tal caso, l'integrale converge in quanto in $x=0$ la funzione è prolungabile per continuità e quindi certamente integrabile;[/*:m:3cb0s7vi]
[*:3cb0s7vi]se $x\to+\infty:$ in questo caso, come già osservato, il seno devia il segno della funzione integranda: considerando il valore assoluto abbiamo:
\begin{align}
\frac{|\sin x|}{(x+1)^{\frac{3}{2}}-1}\le \frac{ 1}{ x ^{\frac{3}{2}} } \to\mbox{converge}
\end{align}[/*:m:3cb0s7vi][/list:u:3cb0s7vi]
In definitiva l'integrale in $[0,+\infty)$ converge
Grazie per la risposta, ma non ho ben chiaro perché il denominatore per [tex]x\to0[/tex] tenda a [tex]{\frac{3}{2} x}[/tex]
mentre quando [tex]x\to\infty[/tex] tenda a [tex]x ^{\frac{3}{2}}[/tex]
mentre quando [tex]x\to\infty[/tex] tenda a [tex]x ^{\frac{3}{2}}[/tex]
nel primo caso , in generale si ha:
\[(1+x)^{\alpha}-1\sim\alpha x,\qquad x\to 0\]
mentre nel secondo caso è l'infinito dominate a denominatore
\[(1+x)^{\alpha}-1\sim\alpha x,\qquad x\to 0\]
mentre nel secondo caso è l'infinito dominate a denominatore
ok, quasi tutto chiaro, solo una cosa (in realtà 2):
quando nel secondo limite prendo il modulo, non lo dovrei prendere su tutta la funzione e non solo sul seno? (se lo prendo su tutta la funzione il risultato è uguale, giusto?)
Perché deve essere [tex]<=[/tex] di [tex]\frac{1}{x^(3/2)}[/tex]? (per la proprietà del modulo: [tex]|x|0?)
quando nel secondo limite prendo il modulo, non lo dovrei prendere su tutta la funzione e non solo sul seno? (se lo prendo su tutta la funzione il risultato è uguale, giusto?)
Perché deve essere [tex]<=[/tex] di [tex]\frac{1}{x^(3/2)}[/tex]? (per la proprietà del modulo: [tex]|x|
ciò che dici è giusto, in realtà avrei dovuto prenderdere il modulo di tutta la frazione, ma in realtà integrando sulle $x$ posiitive, il denominatore è sicuramente maggiore di zero dunque il modulo non è necessario in realtà per la seconda domanda ho saltato un passaggio ... correttamente sarebbe:
\begin{align} \frac{|\sin x|}{(x+1)^{\frac{3}{2}}-1}\le \frac{1}{(x+1)^{\frac{3}{2}}-1}\sim\frac{ 1}{ x ^{\frac{3}{2}} } \to\mbox{converge} \end{align}
in realtà per la seconda domanda ho saltato un passaggio ... correttamente sarebbe:\begin{align} \frac{|\sin x|}{(x+1)^{\frac{3}{2}}-1}\le \frac{1}{(x+1)^{\frac{3}{2}}-1}\sim\frac{ 1}{ x ^{\frac{3}{2}} } \to\mbox{converge} \end{align}
Ma quale è il motivo perché l'integrale deve essere [tex]<=[/tex] di 1/...?
É solo questo che mi manca
Grazie!!
É solo questo che mi manca
Grazie!!
non è che deve essere, lo è in quanto dal liceo sai che $|sin x|\le1$ e quindi il primo passaggio è una semplice stima: la funzione integranda risulata maggiorata da un altra funzione su cui è più facile fare delle considerazioni.
\begin{align} \frac{|\sin x|}{(x+1)^{\frac{3}{2}}-1}\le \frac{1}{(x+1)^{\frac{3}{2}}-1} \end{align}
E' importante notare una cosa: supponi di avre anzichè quella funzione integranda, questa
\begin{align} \frac{\sin x}{(x+1)^{\frac{1}{2}}-1} \end{align}
con le stesse considerazioni di prima avresti che, quando $x\to+\infty$
\begin{align} \frac{|\sin x|}{(x+1)^{\frac{1}{2}}-1}\le\frac{1}{(x+1)^{\frac{1}{2}}-1}\sim \frac{2}{ x}\to \mbox{diverge}\end{align}
e questo NON ti autorizza a concludere che l'integrale a $+\infty$ non converga, poichè la stima che hai fatto ti dice soltanto che la funzione integranda è più piccola di qualcosa che diverge... e quindi in realtà potrebbe fare quello che vuole!
\begin{align} \frac{|\sin x|}{(x+1)^{\frac{3}{2}}-1}\le \frac{1}{(x+1)^{\frac{3}{2}}-1} \end{align}
E' importante notare una cosa: supponi di avre anzichè quella funzione integranda, questa
\begin{align} \frac{\sin x}{(x+1)^{\frac{1}{2}}-1} \end{align}
con le stesse considerazioni di prima avresti che, quando $x\to+\infty$
\begin{align} \frac{|\sin x|}{(x+1)^{\frac{1}{2}}-1}\le\frac{1}{(x+1)^{\frac{1}{2}}-1}\sim \frac{2}{ x}\to \mbox{diverge}\end{align}
e questo NON ti autorizza a concludere che l'integrale a $+\infty$ non converga, poichè la stima che hai fatto ti dice soltanto che la funzione integranda è più piccola di qualcosa che diverge... e quindi in realtà potrebbe fare quello che vuole!
a, si certo; adesso è tutto chiaro!!
Grazie!!!
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