Convergenza integrale (con solo a)

[pierooooo]

$\int_0^1(e^(3x)-e^(-3x))/(sin(x^a))dx$

al variare di $a>0$ studiare la convergenza.


credo che vada usato taylor

numeratore $(1-3x+9/2x^2-9/2x^3+o(x^6))-(1+3x+9/2x^2+9/2x^3+o(x^6)) = (-6x-9x^3+o(x^6))$ dunque rimangono solo i termini dispari

mentra al denominatore essendo $a>0$ avrei che per

$a=1$ $x-1/6x^3+1/120x^5+o(x^6)$
e per ogni $a>1$ $x^2+o(x^6)$

quello che ho scritto è sbagliato? in ogni caso non saprei come andare avanti

[ciampax]

Spari con i cannoni agli uccellini! Usando semplicemente i confronti locali puoi osservare che, vicino a $x=0$ si ha

[tex]$e^{3x}-e^{-3x}\sim 1+3x-(1-3x)=6x,\qquad \sin(x^\alpha)\sim x^\alpha$[/tex]

per cui la funzione integranda ha un comportamento simile a

[tex]$\frac{6x}{x^\alpha}=\frac{6}{x^{\alpha-1}}$[/tex]

A questo punto un noto teorema afferma che [tex]$\int_0^a\frac{1}{x^\beta}\ dx$[/tex] converge se e solo se [tex]$\beta<1$[/tex] quindi...

[Sk_Anonymous]

Ho fatto l'esercizio e, come giustamente afferma ciampax, sviluppando tutto al primo ordine ottieni che quell'integrale converge per $a<2$.

[pierooooo]

"ciampax":Spari con i cannoni agli uccellini!

ahahahah

grazie per le risposte